• Home
  • Multi-Objective Logic Synthesis of Quantum Circuits

Share To

Article Url


Manuscript ID : 1400092232656 Visit : 4690 Page: 207 - 216

20.1001.1.16823745.1401.20.3.6.4

Article Type: Original Research

Multi-Objective Logic Synthesis of Quantum Circuits

Subject Areas : electrical and computer engineering

Arezoo Rajaei 1 , Mahboobeh Houshmand 2 * , Seyyed Abed Hosseini 3

1 - Mashhad Branch, Islamic Azad University
2 - Mashhad Branch, Islamic Azad University, Mashhad, Iran
3 - Mashhad Branch, Islamic Azad University

Received: 2021-12-13 Accepted : 2022-04-18 Published : 2022-11-02

Keywords: Quantum computing, quantum circuit model, logic synthesis, multi-objective optimization, dynamic programming,

Abstract :

Quantum computing is a new method of information processing that is based on the concepts of quantum mechanics and leads to strange and powerful events in the quantum field. The logic synthesis of quantum circuits refers to the process of converting a given quantum gate into a set of gates that can be implemented in quantum technologies. The most famous logic synthesis methods are CSD and QSD. The main goal of this study is to present a multi-objective logical synthesis method combining the above two methods in the quantum circuit model with the aim of optimizing the evaluation criteria. In this proposed method, the solution space is created from different combinations of CSD and QSD decomposition methods. The created solution space is a space with a very large exponential size. Then, using a bottom-up approach of multi-objective dynamic programming, a method is presented to search only a part of the entire solution space to find circuits with the optimal Pareto costs. The obtained results show that this method creates a balance between the evaluation criteria and produces many optimal Pareto solutions that can be selected according to different quantum technologies.

References:

[1] G. E. Moore, "Cramming more components onto integrated circuits," Electronics, vol. 38, no. 8, pp. 114-117, 19 Apr. 1965.
[2] C. P. Williams, Explorations in Quantum Computing, Springer Verlog, Feb. 2011.
[3] M. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press, Jan 31, 2011.
[4] M. Lukac, et al., "Evolutionary approach to quantum and reversible circuit synthesis," Artificial Intelligence Review, vol. 20, pp. 361-417, Jan. 2003.
[5] R. P. Feynman, "Simulating physics with computers," International J. of Theoretical Physics, vol. 21, no. 6-7, pp. 467-488, Jun. 1982.
[6] D. Deutsch, "Quantum theory, the church-turing principle and the universal quantum computer," in Proc. of the Royal Society London A, vol. 400, no. 1818, pp. 97-117, Jun. 1985.
[7] P. W. Shor, "Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring," in Proc. of the 35th Annual Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 124-134, Santa Fe, NM, USA, 20-22 Nov. 1994.
[8] P. W. Shor, "Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete alogarithms on a quantum computer," SIAM J. on Computing, vol. 26, no. 5, pp. 1484-1509, Oct. 1997.
[9] L. K. Grover, "A fast quantum mechanical algorithm for database search," in Proc. of the 28th Annual ACM Symp. on the Theory of Computing, STOC’96, pp. 212-219, Philadelphia, PA, USA, 22-24 May 1996.
[10] G. B. Charles and H. Bennett, "Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing," in Proc. of IEEE Int. Conf. on Computer System and Signal Processing, pp. 175-179, Bangalore, India, 10-12 Dec.. 1984.
[11] C. H. Bennett, et al., "Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels," Physical Review Letters, vol. 70, no. 13, pp. 1895-1899, 29 Mar. 1993.
[12] C. H. Bennett and S. J. Wiesner, "Communication via one-and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states," Physical Review Letters, vol. 69, no. 20, pp. 2881-2884, Nov. 1992.
[13] A. Barenco, et al., "Elementary gates for quantum computation," Physical Review A, vol. 52, no. 5, pp. 3457-3467, Nov. 1995.
[14] G. Cybenko, "Reducing quantum computations to elementary unitary operations," Computing in Science and Engineering, vol. 3, no. 2, pp. 27-32, Mar./Apr. 2001.
[15] V. V. Shende, I. L. Markov, and S. S. Bullock, "Minimal universal two-qubit quantum circuits," Physical Review A, vol. 69, pp. 062321-062329, Jun. 2004.
[16] M. Mottonen, J. J. Vartiainen, V. Bergholm, and M. M. Salomaa, "Quantum circuits for general multiqubit gates," Physical Review Letters, vol. 93, Article ID: 130502, Sept. 2004.
[17] V. Bergholm, J. J. Vartiainen, M. Mottonen, and M. M. Salomaa, "Quantum circuits with uniformly controlled one-qubit gates," Physical Review A, vol. 71, no. 5, pp. 23-30, May 2005.
[18] V. V. Shende, S. S. Bullock, and I. L. Markov, "Synthesis of quantum-logic circuits," IEEE Trans. on CAD, vol. 25, no. 6, pp. 1000-1010, Jun. 2006.
[19] M. Saeedi, M. Arabzadeh, M. Saheb Zamani, and M. Sedighi, "Block-based quantum-logic synthesis," Quantum Information and Computation J., vol. 11, no. 3, pp. 262-277, Mar. 2011.
[20] ك. مرجوعي، م. هوشمند، م. صاحب‌الزماني و م. صديقي، "سنتز منطقی مدارهاي كوانتومي با استفاده از روش مبتني بر بلوك بهبوديافته،" نشريه مهندسي برق و مهندسي كامپيوتر ايران، ب- مهندسي كامپيوتر، سال 14، شماره 3، صص. 239-248، پاييز 1395.
[21] M. Steane, "Error correcting codes in quantum theory," Phys. Rev. Lett., vol. 77, no. 5, pp. 793-797, Jul. 1996.
[22] D. Bacon, "Operator quantum error-correcting subsystems for self-correcting quantum memories," Phys. Rev. A, vol. 73, no. 1, pp. 012 34001-012 4013, Jan. 2006.
[23] D. Forney, M. Grassl, and S. Guha, "Convolutional and tail-biting quantum error-correcting codes," IEEE Trans. on Information Theory, vol. 53, no. 3, pp. 865-880, Mar. 2007.
[24] M. Houshmand, S. Hosseini-Khayat, and M. M. Wilde, "Minimalmemory, non-catastrophic, polynomial-depth quantum convolutional encoders," IEEE Trans. on Information Theory, vol. 59, no. 2, pp. 1198-1210, Feb. 2013.
[25] V. Kliuchnikov, D. Maslov, and M. Mosca, "Fast and effcient exact synthesis of single qubit unitaries generated by clifford and T gates," Quantum Information and Computation, vol. 13, no. 7-8, pp. 607-630, Jul. 2013.
[26] C. Lin and A. Chakrabarti, "FTQLS: fault-tolerant quantum logic synthesis," IEEE Trans. on VLSI Systems, vol. 22, no. 6, pp. 1350-1363, Jun. 2013.
[27] B. Giles and P. Selinger, "Exact synthesis of multiqubit Clifford+T circuits," Physical Review A, vol. 87, no. 3, Article ID: 032332, Mar. 2013.
[28] P. Niemann, R. Wille, and R. Drechsler, "Advanced exact synthesis of Clifford+T circuits," Quantum Information Processing, vol. 19, Article ID: 317, 23 pp., 27 Aug. 2020.
[29] D. Ruffinelli and B. Barán, "Linear nearest neighbor optimization in quantum circuits: a multiobjective perspective," Springer Science+Business Media, LLC, pp. 1-26, Mar. 2017.
[30] ب. رستمیان ملکی و م. محمدی، "طراحی چندهدفه مدارهای کوانتومی با استفاده از برنامه‌نویسی ژنتیک،" مجموعه مقالات نوزدهمین كنفرانس ملي سالانه انجمن كامپیوتر ايران، دانشكده مهندسي كامپیوترصص. 1177-1182، ، دانشگاه شهید بهشتي، تهران، 15-13 اسفند 1392.
[31] V. V. Shende, S. S. Bullock, and I. L. Markov, "Synthesis of quantum-logic circuits," IEEE Trans. on CAD, vol. 25, no. 6, pp. 1000-1010, Jun. 2006.
[32] A. U. Khalid, FPGA Emulation of Quantum Circuits, MS Thesis: McGill University, Mar. 2005.
[33] V. V. Shende, I. L. Markov, and S. S. Bullock, "Smaller two-qubit circuits for quantum communication and computation," in Proc. Design Automation and Test in Europe Conf. and Exhibition, pp. 980-985, Paris, France, 16-20 Feb. 2004.
[34] D. Maslov, G. W. Dueck, D. M. Miller, and C. Negrevergne, "Quantum circuit simplification and level compaction," IEEE Trans. on CAD, vol. 27, no. 3, pp. 436-444, Mar. 2008.
[35] T. H Cormen, et al., Introduction to Algorithms, MIT Press, Jun. 2009.
Full-Text:
معرفي يک روش جديد خوشه‌يابي خودکار

نشریه مهندسی برق و مهندسی كامپیوتر ایران، ب- مهندسی کامپیوتر، سال 20، شماره 3، پاییز 1401  207

مقاله پژوهشی

سنتز منطقی چندهدفه مدارهای کوانتومی

آرزو رجایی، محبوبه هوشمند و سید عابد حسینی

 

 

1 

چكیده: محاسبات کوانتومی، روش جدیدی از پردازش اطلاعات است که بر مبنای مفاهیم مکانیک کوانتومی بنا شده و منجر به رخدادهای عجیب و قدرتمندی در حوزه کوانتوم می‌شود. سنتز منطقی مدارهای كوانتومی به فرایند تبدیل یك گیت داده‌شده كوانتومی به مجموعه‌ای از گیت‌ها با قابلیت پیاده‌سازی در تكنولوژی‌های كوانتومی اطلاق می‌شود. از معروف‌ترین روش‌های سنتز منطقی CSD و QSD هستند. هدف اصلی این مقاله، ارائه یک روش سنتز منطقی چندهدفه ترکیبی از دو روش فوق در مدل مداری محاسباتی با هدف بهینه‌سازی معیارهای ارزیابی است. در این روش پیشنهادی، فضای جوابی از ترکیب‌های مختلف روش‌های تجزیه CSD و QSD ایجاد می‌شود. فضای جواب ایجادشده، یک فضا با اندازه نمایی بسیار بزرگ است. سپس با استفاده از یک رهیافت پایین به بالا از روش حل برنامه‌ریزی پویای چندهدفه، روشی ارائه می‌شود تا تنها بخشی از کل فضای جواب، برای یافتن مدارهایی با هزینه‌های بهینه پرتو جستجو شوند. نتایج به دست آمده نشان می‌دهند که این روش، موازنه‌ای بین معیارهای ارزیابی ایجاد می‌کند و پاسخ‌های بهینه پرتو متعددی تولید کرده که با توجه به تکنولوژی‌های مختلف کوانتومی می‌توانند انتخاب شوند.

 

کلیدواژه: محاسبات کوانتومی، مدل مداری کوانتومی، سنتز منطقی، بهینه‌سازی چندهدفه، برنامه‌ریزی پویا.

1-       مقدمه

در طول چند دهه گذشته با پیشرفت شگفت‌انگیز فناوری، روند کوچک‌سازی ترانزیستورها در ساخت تراشه‌های کامپیوتری پدیدار شده است، به گونه‌ای که امروزه ریزپردازنده‌ها دربرگیرنده بیش از صدها میلیون ترانزیستور هستند. قانون مور بیان می‌کند که در هر 18 ماه، تعداد ترانزیستورهای یک تراشه الکترونیکی دو برابر می‌شود [1]. پیروی از قانون مور سبب می‌شود که اندازه ترانزیستورها در نهایت به اندازه اتم باشد. با رسیدن به اندازه اتمی در تراشه‌ها، نظریه ریاضیات حاکم بر علم کامپیوتر نوین نقض می‌شود. در چنین ابعادی قوانین کوانتومی بر ساخت تراشه‌ها حاکم خواهد شد، نه قوانین موجود در طراحی و ساخت تراشه‌های امروزی. بدین منظور دانشمندان، نظریه جدیدی تحت عنوان محاسبات کوانتومی بیان نمودند که در مقیاس بسیار کوچک، قوانین مورد نظر، قوانین مربوط به مکانیک کوانتومی هستند [2].

محاسبات و فناوری اطلاعات کوانتومی، علم پردازش اطلاعات توسط سیستم‌های مکانیک کوانتوم است. این عرصه از علم در حقیقت شامل سه علم نظریه اطلاعات، علوم کامپیوتر و فیزیک کوانتوم است [3]. دانشمندان انتظار دارند که کامپیوترهای کوانتومی بتوانند باعث تحولات چشم‌گیری در زمینه‌های مختلف مانند افزایش چشم‌گیر سرعت پردازش اطلاعات، انتقال امن داده‌ها، رفع محدودیت‌های مدارهای مجتمع و کاهش مصرف انرژی شوند.

از جمله زمینه‌های مرتبط با محاسبات كوانتومی می‌توان به بحث سنتز منطقی مدارهای كوانتومی اشاره كرد. سنتز منطقی مدارهای کوانتومی به فرایند تبدیل یک گیت کوانتومی به یک سری گیت‌های پایه (با توجه 
به كتابخانه گیت‌های جامع) اطلاق می‌شود. مسئله سنتز منطقی و بهینه‌سازی مدارهای کوانتومی یک مسئله سخت2 است [4]. یكی از متداول‌ترین كتابخانه‌های گیت‌های جامع، كتابخانه گیت‌های پایه3 است كه از گیت CNOT و كلیه گیت‌های تك‌كیوبیتی تشكیل شده است. به منظور ارزیابی یك مدار كوانتومی، معیارهای هزینه مختلفی مانند تعداد گیت‌های CNOT و تك‌كیوبیتی، هزینه كوانتومی و عمق مدار وجود دارد.

ساختار ادامه این مطالعه از این ‌قرار است: در بخش 2، پیش‎زمینه‌های مورد نیاز در رابطه با محاسبات کوانتومی بیان شده‌اند. در بخش 3 به تعریف روش سنتز منطقی چندهدفه مدارهای کوانتومی و در بخش 4 به بررسی نتایج این روش پرداخته شده است. بخش 5 به جمع‌بندی می‌پردازد و پیشنهادهایی برای کارهای آتی دارد.

2-       پیش‌زمینه

محاسبات کوانتومی حاصل ترکیب مکانیک کوانتومی و نظریه اطلاعات کلاسیک است و منجر به رخدادهای عجیب و قدرتمندی در حوزه کوانتوم می‌شود. در زیربخش 2-1، تاریخچه محاسبات کوانتومی، در زیربخش 
2-2، کارهای قبلی مربوط به سنتز منطقی مدارهای کوانتومی و در زیربخش 2-3، اصول محاسبات کوانتومی مطرح می‌شود.

2-1 تاریخچه محاسبات کوانتومی

محاسبات کوانتومی، شاخه جدیدی از پردازش اطلاعات بر مبنای اصول مکانیک کوانتومی است. هرچند هنوز کامپیوترهای کوانتومی کاملاً عملی ساخته نشده‌اند، اما آینده کامپیوترهای کوانتومی بسیار روشن به نظر می‌رسد.

ایده دستگاه محاسباتی بر مبنای مکانیک کوانتومی برای اولین 
بار در دهه 1970 و اوایل دهه 1980 توسط فیزیکدانان 
و متخصصین کامپیوتر از قبیل چارلز بنت4، پل بنیوف5، 
دیوید دویچ6 و ریچارد فاینمن7 مطرح شد. این ایده زمانی ظاهر شد که دانشمندان با محدودیت‌های اساسی محاسبات روبه‌رو گردیدند و متوجه شدند که اگر فناوری طبق قانون مور8 جلو رود، اندازه عناصر مداری که روی تراشه‌های سیلیکونی تعبیه می‎شوند عاقبت، بیشتر از چند اتم نخواهد بود. مشکلی که در اینجا پیش می‌آید این است که در اندازه اتمی، قوانین فیزیکی که بر رفتار اتم‌ها حاکم هستند، قوانین مکانیک کوانتومی هستند و نه قوانین مکانیک کلاسیک.

فاینمن [5]، جزو اولین افرادی بود که در سال 1982، مدلی انتزاعی پیشنهاد کرد که نشان می‌داد چگونه یک سیستم کوانتومی می‌تواند محاسبات را انجام دهد. سپس در سال 1985، دوستچ [6] دریافت که ایده فیمن می‌تواند عاقبت به یک کامپیوتر همه‌کاره منجر شود و یک مقاله منتشر کرد که به صورت نظری نشان می‌داد هر فرایند فیزیکی را می‌توان کاملاً با یک کامپیوتر کوانتومی مدل کرد. موفقیت اصلی توسط شور در سال 1994، وقتی او به کمک کامپیوترهای کوانتومی، روشی برای شکستن یک مسئله مهم در نظریه اعداد- تجزیه اعداد به عوامل اول [7] و [8] پیدا کرد، حاصل شد. او نشان داد که مجموعه‌ای از اعمال ریاضی که برای کامپیوتر کوانتومی طراحی شده‌اند، قابلیت تجزیه اعداد بزرگ را بر روی کامپیوترهای کوانتومی، بسیار سریع‌تر از کامپیوترهای کلاسیک دارند. با این موفقیت و همین طور کشف الگوریتم جستجوی گراور [9]، محاسبات کوانتومی از یک کنجکاوی دانشگاهی صرف، به یک علاقه جهانی تبدیل شد.

حوزه محاسبات کوانتومی مدرن، با کشف توزیع کلید کوانتومی9 [10]، توانایی ارسال یک بیت کوانتومی به کمک دو بیت کلاسیک و یک بیت درهم‌تنیدگی (مخابره از راه دور کوانتومی10 [11]) و توانایی ارسال دو بیت کلاسیک با ارسال یک بیت کوانتومی و یک بیت درهم‌تنیدگی (کدگذاری چگال11 کوانتومی [12]) آغاز شد. سپس محققین، تلاش‌های عمیق‌تری برای ترکیب منابع مخابرات کلاسیک، مخابرات کوانتومی و درهم‌تنیدگی برای فرمول‌بندی پروتکل‌های جدید کوانتومی انجام دادند.

2-2 کارهای قبلی در مورد سنتز منطقی کوانتومی

فعالیت‌های انجام‌شده در زمینه سنتز منطقی مدارهای کوانتومی را می‌توان به دو دسته مبتنی بر تجزیه و مبتنی بر ترکیب تقسیم کرد که فعالیت‌های مختلفی در هر بخش صورت گرفته است.

-        در دسته اول، با استفاده از ویژگی‌های ماتریسی مدار و گیت‌های کوانتومی و نیز تعریف گیت‌های خاص و روش‌های تجزیه آنها 
با توجه به روش‌های تجزیه ریاضی، ماتریس مدار مورد نظر به دسته ماتریس‌های خاص که همان گیت‌های کوانتومی هستند، تجزیه می‌شود.

-        در دسته دوم با استفاده از روش‌های جستجوی اکتشافی (الگوریتم‌های تکاملی)، اقدام به یافتن مداری متشکل از کتابخانه گیت‌های مورد نظر می‌شود.

در مقالات قبلی مربوط به سنتز منطقی، هدف اصلی عمدتاً کاهش تعداد گیت‌های CNOT است. در [13]، مرتبه تعداد گیت‌های CNOT مورد نیاز برای ساخت هر ماتریس بر روی img0 کیوبیت برابر با img0 گزارش شده است. با استفاده از تجزیه QR در [14] که بر مبنای استفاده از ماتریس‌های دوسطحی یکانی است، همین مرتبه به دست می‌آید. ماتریس‌های دوسطحی یکانی12، زیرمجموعه‌ای از ماتریس‌های یکانی هستند که به صورت غیر بدیهی فقط بر روی دو بردار عمل می‌کنند. سپس در [15]، بیشترین مقدار حد پایین مرزی13 برای تعداد گیت CNOT در سنتز منطقی مدارهای كوانتومی برابر img0 می‌باشد. پس از آن با استفاده از روش سنتز منطقی مبتنی بر روش تجزیه شناخته‌شده CS14 [16] در جبر خطی با نام CSD مرتبه تعداد CNOT به img0 رسید. در [17] با بهبود روش CSD، تعداد CNOTها به img0 رسید و تعداد کمتری از گیت‌های تک‌کیوبیتی را تولید  می‌کند.  سپس  [18]  با  تعریف  سنتز  منطقی  مبتنی  بر  تجزیه  CS  با 

عنوان  15QSD  به  تولید img0 تعداد  گیت  CNOT  رسید.

مقاله [19] روشی به نام 16BQD را طراحی کرده که تركیبی از دو روش CSD و QSD می‌باشد كه در نهایت منجر به ارائه روش جدیدی با خصوصیات جدید و تركیبی از خواص دو روش نام برده شده است. در نهایت، روش BQD در [20] بهبود یافته و منجر به ارائه روش جدیدی با نام17IBQD با خصوصیات جدید و نتایج بهتر شده است.

از آنجا که سیستم‌های كوانتومی بیشتر از محاسبات كلاسیك در معرض خطا هستند، مدارهای كوانتومی تحمل‌پذیر اشکال برای پیاده‌سازی عملی مورد نیازند. بسیاری از كدهای تصحیح اشکال كوانتومی [21] تا [24]، برای ممكن‌ساختن محاسبات تحمل‌پذیر اشکال ارائه شده‌اند كه 
از گیت‌های كتابخانه حاوی گیت‌های كلیفورد و img0 استفاده می‌کنند. برخی از پژوهش‌های اخیر در حوزه سنتز كوانتومی نیز به سنتز كوانتومی با هدف تحمل‌پذیری اشکال می‌پردازند. در [24] تا [26]، سنتز منطقی مدارهای كوانتومی عمدتاً با استفاده از كتابخانه گیت‌های كلیفورد و img0 صورت می‌گیرد.

کتابخانه کلیفورد و img0 که شامل گیت‌های CNOT، هادامارد، فاز و img0 می‌باشد، یک کتابخانه تقریباً جهانی است. یکی از راهکارهایی که برای کاهش محدودیت این کتابخانه ارائه شده است، گسترش آن می‌باشد [26]، یعنی افزودن گیت‌های جدید به کتابخانه. این عمل سبب می‌شود در صورت وجود این گیت‌ها در مدار کوانتومی بدون خاصیت تحمل‌پذیر اشکال، نیازی به سنتز آن نباشد. همین امر سبب بهبود هزینه‌های این سنتز خواهد شد. حتی با وجود گسترش کتابخانه، باز هم امکان تجزیه دقیق یک گیت دلخواه به گیت‌های کلیفورد و img0 وجود ندارد.

در [27] از الگوریتم‌های مبتنی بر ریاضی برای طراحی یک روش سنتز منطقی دقیق با توجه به کتابخانه کلیفورد و img0 استفاده شده و همچنین با استفاده از کیوبیت‌های کمکی برای عملگرهای کلیفورد و img0، تعداد کل گیت‌های ابتدایی این کتابخانه به کار رفته img0 می‌باشد (img0 مؤلفه مخرج18 است). مقاله [28]، روش سنتز دقیق پیشنهادشده در [27] را در سطح جهانی بهبود داده و از نمودار تصمیم‌گیری چندمقداری کوانتومی19 برای نمایش ماتریس به صورت کارا و از گیت‌های کتابخانه كلیفورد و img0 استفاده کرده و هدف اصلی آن، تولید مدار با تعداد حداقل گیت img0 است.

در [29] برای بهینه‌سازی هزینه معیار NNC از بهینه‌سازی چندهدفه استفاده شده که از الگوریتم تکاملی مبتنی بر NSGA-II بهره می‌گیرد. برای این منظور، دو هدف پیشنهاد گردیده است: به حداقل رساندن تعداد گیت‌های SWAP اضافی و تعداد فرعی‌های شبکه (اندازه شبکه). چون این دو هدف با هم تناقض دارند در نتیجه، یک الگوریتم تکاملی چندهدفه مبتنی بر NSGA-II برای حل این مشکل با در نظر گرفتن این دو هدف ایجاد شده است. در [30]، یک روش طراحی چندهدفه مدارهای کوانتومی مبتنی بر برنامه‌نویسی ژنتیک مطرح گردید. برای این منظور، سه هدف پیشنهاد شده است: هزینه مدار کوانتومی، هزینه نزدیک‌ترین همسایه و عمق مدار. از دیگر نوآوری‌های آن مقاله در نظر گرفتن هم‌ارزی فاز سراسری و همچنین استفاده از یک تابع برازش دومرحله‌ای را می‌توان ذکر کرد که در مرحله اول، صحت عملکرد مدار ارزیابی می‌شود. سپس معیارهای هزینه مدارهای کوانتومی، عمق و نزدیک‌ترین همسایه مجاور را مورد نظر قرار می‌دهد. نتایج اجرا بر روی مدارهای دو تا پنج کیوبیتی نشان دادند که روش مورد نظر قادر است در زمان کوتاه به یک جواب بهینه برای طراحی این مدارها بینجامد.

2-3 اصول محاسبات کوانتومی

2-3-1 کیوبیت‌ها

حالات کوانتومی را می‌توان بر حسب بردارها و یا با نماد معروف‌تر برا/کت20 نمایش داد. کت‌ها همانند img0 نمایشگر بردارهای ستونی هستند و عموماً برای توصیف حالات کوانتومی به کار می‌روند. حالت برا img0، نمایشگر ترانهاده مزدوج21 img0 است. حالات پایه img0 و img0 را می‌توان 
به صورت img0 و img0 بیان کرد. هر ترکیبی از img0 و img0 img0 را می‌توان به فرم img0 نشان داد. img0 نمایشگر ضرب داخلی22 دو بردار است. برای نمونه چون img0 و img0 عمود هستند، داریم img0. نماد img0 نشان‌دهنده ضرب خارجی23 دو بردار است.

یک کیوبیت24، برداری یکه در فضای دوبعدی مختلط است که برای این فضا، بردارهای پایه مشخص که با نماد img0 و img0 نمایش داده می‌شوند، انتخاب شده‌اند. بردارهای پایه img0 و img0 به ترتیب همتای کوانتومی بیت‌های کلاسیک 0 و 1 می‌باشند. برخلاف بیت‌های کلاسیک، کیوبیت‌ها می‌توانند در هر برهم‎نهی25 از img0 و img0 همانند img0 قرار بگیرند که img0 و img0 اعداد مختلطی هستند که img0.

2-3-2 گیت‌های کوانتومی

اعمال کوانتومی را می‌توان با شبکه‌ای از گیت‌ها محقق کرد. هر گیت کوانتومی، یک تبدیل خطی است که با یک ماتریس یکانی26 مؤثر بر 
روی فضای img0کیوبیتی تعریف می‌گردد. ماتریس img0 یکانی است اگر img0 که img0، ترانهاده مزدوج ماتریس img0 می‌باشد. ماتریس یكانی عمومی كه بر روی img0 كیوبیت عمل می‌كند، با نماد img0 نمایش داده می‌شود.

از معروف‌ترین گیت‌های تک‌کیوبیتی، اعضای مجموعه پائولی هستند که از چهار عملگر زیر تشکیل شده‌اند

img0        (1)

که img0 تبدیل همانی27، img0 گیت چرخش بیت28، img0 گیت چرخش فاز29 و img0 ترکیبی از هر دو است.

از دیگر گیت‌های پرکاربرد تک‌کیوبیتی دیگر، گیت‌های دوران به دور محورهای img0، img0 و img0 با زاویه img0 هستند که به ترتیب با ماتریس‌های (2) نمایش داده می‌شوند

img0        (2)

از جمله گیت‌های تک‌کیوبیتی پرکاربرد دیگر، گیت‌های هادامارد30 (H)، گیت فاز31 (Phase) و گیت img0 است. ماتریس‌های مربوط به این گیت‌ها در (3) آورده شده است.

img0        (3)

 

 

img0 

شکل 1:  نمايش مداري گيت CNOT.

 

گیت معکوس‌کننده- کنترلی 32(CNOT)، یک گیت دوکیوبیتی است. کیوبیت اول در نقش کنترل و کیوبیت دوم در نقش هدف است. اگر کیوبیت  کنترل،  img0 باشد،  CNOT کیوبیت  هدف  را  معکوس  می‌کند  و اگر  کیوبیت  کنترل، img0 باشد،  کیوبیت  هدف  بدون  تغییر  خارج  می‌شود.  به عبارت دیگر، خروجی دوم، XOR کیوبیت کنترل و هدف می‌باشد. نمایش مداری گیت CNOT به صورت (4) است

img0        (4)

شکل 1، نمایش مداری گیت CNOT را نشان می‌دهد.

یک مالتی‌پلکسر کوانتومی [31]، img0 کیوبیت هدف و img0 کیوبیت انتخاب دارد و img0 ترکیب مختلف خطوط انتخاب، مشخص می‌کنند که چه گیت کوانتومی متفاوتی به خطوط هدف اعمال شود. در حالتی كه تنها یك كیوبیت هدف (با نام img0) داریم و گیت‌های كوانتومی اعمال‌شده در خط هدف img0، img0 img0 باشند، مالتی‌پلكسر كوانتومی، img0 مالتی‌پلكس‌شده نامیده می‌شود.

یك ماتریس مربعی، قطری نامیده می‌شود چنانچه درایه‌های خارج از قطر اصلی آن صفر باشند. یك گیت قطری كه بر روی img0 كیوبیت اعمال می‌گردد، یك ماتریس یكانی img0 قطری دارد و با نماد img0 نمایش داده می‌شود.

2-3-3 مدارهای کوانتومی

یک مدار کوانتومی، از مجموعه‌ای از سیم‌ها (کیوبیت‌ها) و یک توالی از گیت‌های کوانتومی تشکیل می‌گردد. محاسبات کوانتومی که با مدارهای کوانتومی مدل گردیده‌اند، در شکل 2 نشان داده شده‌اند. یک مدار کوانتومی همواره از چپ به راست ارزیابی می‌شود و بنابراین حرکت 
از چپ به راست در یک مدار کوانتومی به معنای حرکت به جلو در زمان است.

2-3-4 مسئله بهینه‌سازی چندهدفه

یک مسأله بهینه‌سازی چندهدفه33 را می‌توان به صورت رابطه زیر فرمول‌بندی کرد

img0        (5)

که در آن img0 برداری از img0 متغیر و img0 فضای تصمیم‌گیری می‌باشد. هر مؤلفه از img0، یک تابع هدف34 است و img0 برداری از img0 محدودیت35 

img0 

شکل 2: محاسبات کوانتومي که با مدارهاي کوانتومي مدل شده است [32].

 

می‌باشد که یک ناحیه ممکن36 img0 را تعریف می‌کند. هر نقطه از img0، یک جواب ممکن37 است.

طبق این تعریف، یک مسأله بهینه‌سازی مقید دارای مجموعه‌ای از متغیرها img0 است که به عنوان متغیرهای بهینه‌سازی38 شناخته می‌شوند. یک تابع img0 با نام تابع هدف بر روی متغیرهای بهینه‌سازی اعمال می‌شود و این تابع بایستی کمینه گردد. همچنین مجموعه‌ای از قید‌ها می‌توانند به شکل تساوی img0 یا نامساوی img0 یا img0 روی متغیرهای بهینه‌سازی اعمال شوند. مجموعه‌های img0 به ترتیب به عنوان دامنه‌های متغیرهای img0 هستند که می‌توانند به عنوان قیدهای دامنه‌ای (یا محدودیت) در مسأله بهینه‌سازی مقید بیان شوند. این نکته لازم است عنوان گردد که محدودیت را می‌توان در برخی موارد به صورت قید‌های تساوی و یا نامساوی نیز بیان کرد. به عنوان مثال، محدودیت نامنفی‌بودن متغیر img0 را می‌توان به صورت قید نا‌مساوی img0 نوشت. در بهینه‌سازی چندهدفه، هدف بهینه‌سازی هم‌زمان بیشتر از یک تابع هدف مختلف و گاه متضاد است. از روش‌های حل بهینه‌سازی چندهدفه، پیداکردن مجموعه جواب بهینه پرتو است که در آن مجموعه جواب‌های غیر غالب در تمام فضای جستجو ارائه می‌شود. یک جواب، غیر غالب خوانده می‌شود اگر مقدار هیچ یک از توابع هدف آن نتواند بدون خراب‌کردن برخی دیگر از توابع هدف بهتر شود.

2-3-5 سنتزهای منطقی CSD و QSD

روش‌های سنتز منطقی QSD و CSD مبتنی بر تجزیه CS هستند. روش سنتز منطقی CSD یك روش بازگشتی است كه به صورت بازگشتی بر روی گیت‌های به طور یكنواخت كنترلی چندكیوبیتی اعمال می‌شود. در نهایت، حاصل تجزیه گیت كوانتومی دلخواه img0 كیوبیتی به صورت مداری با img0 به طور یكنواخت كنترلی تك‌كیوبیتی و یك گیت قطری img0 است. سپس این نوع گیت‌ها به گیت‌های CNOT و تك‌كیوبیتی تجزیه می‌شوند.

از دیگر روش‌های سنتز منطقی بازگشتی، روش سنتز منطقی QSD است. این روش بر خلاف روش CSD در اولین گام بازگشتی، یك گیت كوانتومی دلخواه img0 كیوبیتی را به چهار گیت كوانتومی img0 کیوبیتی و سه گیت img0 مالتی‌پلكس‌شده، تجزیه می‌كند. سپس تجزیه QSD به طور بازگشتی بر روی چهار گیت كوانتومی img0 کیوبیتی ادامه می‌یابد تا نهایتاً گیت‌های دو كیوبیتی حاصل شوند. سپس هر گیت دو كیوبیتی توسط مدار بهینه به دست آمده در [33] جایگزین می‌گردد.

 

 

[1] این مقاله در تاریخ 22 آذر ماه 1400 دریافت و در تاریخ 8 اسفند ماه 1400 بازنگری شد.

آرزو رجایی، گروه مهندسی کامپیوتر، واحد مشهد، دانشگاه آزاد اسلامی، مشهد، ایران، (email: rajaei@mshdiau.ac.ir).

محبوبه هوشمند (نویسنده مسئول)، گروه مهندسی کامپیوتر، واحد مشهد، دانشگاه آزاد اسلامی، مشهد، ایران، (email: houshmand@mshdiau.ac.ir).

سید عابد حسینی، گروه مهندسی برق، واحد مشهد، دانشگاه آزاد اسلامی، مشهد، ایران، (email: hosseyni@mshdiau.ac.ir).

[2] . NP-Hard Problem

[3] . Basic Gate Library

[4] . Charles H. Benet

[5] . Paul A. Benioff

[6] . David Deustch

[7] . Richard P. Feynman

[8] . Moore's Law

[9] . Quantum Key Distribution

[10] . Quantum Teleportation

[11] . Dense Coding

[12] . Two-Level Unitary Matrices

[13] . Highest Lower Bound

[14] . Cosine-Sine Decomposition

[15] . Quantum Shannon Decomposition

[16] . Block-Based Quantum Decomposition

[17] . Improved-BQD

[18] . Denominator Exponent

[19] . Quantum Multiple-Valued Decision Diagram

[20] . Bra/Ket

[21] . Transpose Conjugate

[22] . Inner Product

[23] . Outer Product

[24] . Qubit

[25] . Superposition

[26] . Unitary

[27] . Identity

[28] . Bit Flip

[29] . Phase Flip

[30] . Hadamard Gate

[31] . Phase Rotation

[32] . Controlled-NOT

[33] . Multi-Objective Optimization Problem

[34] . Object Function

[35] . Restriction

[36] . Feasible Region

[37] . Feasible Solution

[38] . Optimization Variables

img0 

شکل 3:  سنتز منطقی ماتریس یکانی نمونه img0.

 

 

2-3-6 معیارهای ارزیابی مدار کوانتومی

-        تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی و CNOT: تعداد گیت‌هایی که برای سنتز منطقی مورد استفاده قرار می‌گیرند، معیاری برای ارزیابی روش‌های سنتز منطقی است. به طور کلی بر اساس کتابخانه‌های تعریف‌شده، در مدارهای کوانتومی این هزینه شامل گیت‌های تک‌کیوبیتی و گیت CNOT تولیدشده است.

-        هزینه کل گیت‌ها: این معیار برابر با تعداد کل گیت‌های تولیدشده در روش سنتز منطقی مدارهای کوانتومی است.

-        عمق مدار: گیت‌های پایه‌ای که در یک مدار کوانتومی می‌توانند با هم اجرا شوند به عنوان یک سطح منطقی1 در نظر گرفته می‌شوند [34]. تعداد سطوح منطقی یک مدار، عمق منطقی2 مدار نامیده می‌شود. عمق یک مدار کوانتومی img0 (نشان داده شده با img0)، می‌تواند از (6) به دست آید که در آن img0 تعداد کل گیت‌ها و img0 تعداد گیت‌هایی را که در مدار img0 موازی هستند نشان می‌دهد

img0        (6)

3-       روش پیشنهادی

در این بخش، یک روش پیشنهادی برای سنتز منطقی چندهدفه با هدف بهبود معیارهای ارزیابی مطرح می‌شود.

3-1 سنتز منطقی چندهدفه مدارهای کوانتومی

به طور رسمی، مسئله سنتز منطقی چندهدفه3 در مدل مداری کوانتومی را با استفاده از کتابخانه پایه به صورتی که در ادامه می‌آید، مدل‌سازی می‌کنیم. برای مثال، شکل 3 را یک مدار نمونه حاصل از سنتز منطقی ماتریس یکانی img0 روی img0 کیوبیت متشکل از گیت‌های img0 در نظر بگیرید که در آن img0 img0، شماره سطح منطقی هر گیت و img0 img0 شماره آن گیت در آن سطح منطقی را نشان می‌دهد. گیت‌های پایه‌ای که در یک مدار کوانتومی می‌توانند با هم اجرا گردند به عنوان یک سطح منطقی در نظر گرفته می‌شوند. پارامتر img0 برابر با تعداد کل سطوح منطقی (عمق) مدار است و img0 تعداد کل گیت‌ها در سطح منطقی img0ام را نشان می‌دهد.

می‌توان مسئله سنتز منطقی این ماتریس یکانی img0 به کتابخانه پایه را به صورت یک مسئله بهینه‌سازی مقید چندهدفه مدل‌سازی کرد

img0        (7)

که در آن img0 مجموعه‌ای از توابع هدف است که به شرح (8) است

img0        (8)

هدف این مسئله، بهینه‌سازی 3 معیار ارزیابی عمق مدار4، تعداد کل گیت‌ها و تعداد گیت‌های CNOT است.

در روش پیشنهادی، فضای جوابی از ترکیب‌های مختلف روش‌های تجزیه QSD و CSD ایجاد می‌شود. فضای جواب ایجادشده، یک فضا با اندازه نمایی بسیار بزرگ است. سپس با استفاده از یک رهیافت پایین به بالا از روش حل برنامه‌ریزی پویای چندهدفه (MODP)، روشی ارائه می‌شود تا تنها بخشی از کل فضای جواب، برای یافتن مدارها با هزینه‌های بهینه پرتو جستجو شوند. این روش، 5MOQLS خوانده می‌شود.

برنامه‌ریزی پویای چندهدفه6 [35]، روش حل مسأله برای یافتن نقاط بهینه پرتو در مسائل بهینه‌سازی چندهدفه با اعمال روش برنامه‌ریزی پویا می‌باشد. این روش حل به مسائلی قابل اعمال است که یک مسأله را می‌توان به صورت بازگشتی به زیرمسائلی شکست و بهینه پرتو بودن یک جواب به بهینه پرتو بودن جواب‌های زیرمسائل آن منجر می‌شود.

روش پیشنهادی که برای ساختن فضای جواب، در آن از ترکیب دو روش QSD و CSD استفاده می‌گردد، 7SSG خوانده می‌شود. در این روش، ماتریس img0 می‌تواند با روش‌های QSD و CSD تجزیه شود. اگر img0 باشد، این ماتریس می‌تواند با روش CSD سنتز منطقی گردد. همچنین می‌تواند یک گام با روش سنتز منطقی بازگشتی QSD تجزیه شود که در این صورت، سه گیت مالتی‌پلکس‌شده img0 روی img0 کیوبیت و چهار ماتریس img0 تولید می‌شود. روش SSG به طور بازگشتی بر روی هر یک از ماتریس‌های img0 اجرا می‌گردد.

 

img0 

1. if img0

2. if img0

3. return img0

4. elseif img0

5. return img0

6. if img0

7. if img0

8. return img0

9. elseif img0

10. return img0

11. img0

12. img0

13. img0

14. img0

15. if img0

16. return img0

                           img0

17: return img0

                           img0

 

شکل 4:  الگوریتم بازگشتی پیشنهادی سنتز منطقی.

 

ماتریس‌های یکانی تولیدگردیده به دو کلاس ابتدایی و غیر ابتدایی به روشی که در ادامه توضیح داده شده است، افراز می‌شوند. اگر خود ماتریس 

img0 یک ماتریس ابتدایی باشد (در اولین بار فراخوانی این روش، ماتریس ابتدایی است)، به سمت راست‌ترین ماتریس img0، ماتریس ابتدایی و به بقیه ماتریس‌ها، ماتریس‌های غیر ابتدایی گفته می‌شود. سه گیت مالتی‌پلکس‌شده img0 روی img0 کیوبیت نیز به کتابخانه ابتدایی تجزیه می‌شوند.

پس از تجزیه این گیت‌ها، بهینه‌سازی‌هایی نیز در آنها انجام می‌شود. این بهینه‌سازی‌ها مبتنی بر امکان ردکردن گیت‌های قطری ابتدایی در تمام ماتریس‌های غیر ابتدایی از خطوط انتخاب گیت‌های مالتی‌پلکس‌شده به سمت چپ و الحاق آنها به مدارهایی در طرف دیگر است.

تعداد حالت‌های کلی فضای جواب تولیدشده توسط روش SSG از رابطه بازگشتی (9) به دست می‌آید

img0        (9)

دو روش برای سنتز منطقی مدارهای دو کیوبیتی وجود دارد. برای سنتز منطقی مدارهایی با img0، اگر یک گام روش تجزیه QSD اعمال شود، چهار ماتریس img0 تولید می‌شوند که هر یک برای سنتز منطقی، تعداد img0 حالت مختلف می‌توانند داشته باشند. لذا تعداد حالت‌های کل، img0 خواهد بود. اگر مدار با روش CSD تجزیه شود، یک حالت به تعداد حالت‌های فضای جواب اضافه می‌کند.

به هر مدار img0 کیوبیتی در فضای جواب تولیدشده با روش SSG 
که ماتریس‌های یکانی غیر ابتدایی را پیاده‌سازی می‌کند، با یک تابع یک‌به‌یک، اندیسی تخصیص می‌یابد و این مدار img0 خوانده می‌شود.

اندیس img0 که تابعی از img0 است و از صفر تا img0 تغییر می‌کند، به صورت (10) محاسبه می‌شود. علی‌رغم آن که این اندیس تابعی از img0 است، به علت ساده‌نوشتن، معیار img0 به صراحت در آن ذکر نمی‌شود

img0        (10)

که img0 به ترتیب حاوی اندیس چهار ماتریس img0 از سمت چپ به سمت راست مدار هستند و خود از رابطه بازگشتی (10) به دست می‌آیند. در واقع img0، عددی است که از تبدیل عدد img0 به مبنای 10 حاصل می‌شود. اگر img0 داده‌شده با روش QSD سنتز منطقی شود، اندیس صفر می‌گیرد. اگر این ماتریس یکانی با روش CSD سنتز منطقی شود، اندیس آن به صورت img0 در نظر گرفته می‌شود. در غیر این صورت، یک مرحله تجزیه بازگشتی QSD اعمال شده و 3 گیت مالتی‌پلکس‌شده img0 img0 روی img0 کیوبیت و چهار ماتریس img0 تولید می‌شود و اندیس این مدار img0 با استفاده از رابطه بازگشتی (3) به دست می‌آید.

مداری که در روش SSG برای سنتز منطقی ماتریس‌های غیر ابتدایی بر روی img0 کیوبیت تولید می‌شود و اندیسی برابر با img0 دارد، img0 خوانده می‌شود.

به منظور مشخص‌کردن نحوه تجزیه یک مدار مشخص در فضای جواب این روش، اندیس آن img0 و تعداد کیوبیت‌هایی که آن مدار بر آن اثر می‌کند img0، باید داده شوند و الگوریتم بازگشتی شکل 4 مورد استفاده قرار می‌گیرد. این تابع، یک ورودی به نام img0 نیز دارد که ابتدایی img0 یا غیر ابتدایی img0 بودن ماتریس فراخواننده این الگوریتم را که قرار است تجزیه شود، نشان می‌دهد. قابل ذکر است که فرض می‌شود مقادیر img0 به ازای img0های مختلف از قبل در حافظه ذخیره شده‌اند. همچنین دو تابع img0 و img0 به ترتیب خارج قسمت و باقیمانده تقسیم صحیح عدد img0 بر img0 را برمی‌گردانند.

قابل ذکر است که img0 و img0 به ترتیب به منزله اعمال یک مرتبه الگوریتم بازگشتی تجزیه QSD برای سنتز منطقی ماتریس‌های ابتدایی و غیر ابتدایی img0 است و 4 ورودی داخل آن، به ترتیب نحوه تجزیه 4 ماتریس img0 را از سمت چپ به راست مشخص می‌کنند.

در اولین بار فراخوانی تابع به منظور تجزیه یک ماتریس img0 کیوبیتی، img0 است. اگر ماتریس متناظر در فراخوانی این الگوریتم، خود ابتدایی باشد و یک گام با روش سنتز منطقی بازگشتی QSD تجزیه شود، آن گاه سمت راست‌ترین ماتریس تولیدشده توسط آن ابتدایی است، یعنی img0 آن برابر با یک خواهد بود. برای مثال فرض کنید که img0 و img0 باشد. با استفاده از رابطه بازگشتی (9)، مقادیر img0، img0 و img0 محاسبه گردیده و مورد استفاده قرار خواهند گرفت. تابع ارائه‌شده در شکل 4، شرط‌های داخل خطوط 1 تا 10 را چک کرده و هیچ کدام ارضا نمی‌شوند. سپس در خطوط 11 تا 14، img0، img0، img0 و img0 به ترتیب به صورت 16، 9، 16 و 0 محاسبه می‌شوند. روند بازگشتی فوق با ورودی‌های (3,0,0)، (3,16,0)، (3,9,0) و (3,16,1) دوباره فراخوانی می‌شود. نهایتاً با به انتها رسیدن روند بازگشتی فوق، تجزیه این مدار به شکل img0 محاسبه خواهد شد. همچنین برای محاسبات هزینه که در ادامه آمده است، احتیاج به مشخص‌کردن نوع ماتریس‌های غیر ابتدایی در مجموعه جواب نیز است. این نوع با استفاده از رابطه بازگشتی (11) به دست می‌آید

img0        (11)

اگر img0 باشد (یعنی در سنتز منطقی یک مرحله QSD اعمال شده باشد)، سپس نوع ماتریس از روی img0، img0، یعنی اندیس سمت راست‌ترین ماتریس یکانی تولیدشده پس از اعمال یک مرحله تجزیه QSD به دست می‌آید و سپس (11) به طور بازگشتی با img0 و img0 ادامه می‌یابد تا img0 به img0 و img0 به 0 یا img0 برسد که در این حالت نوع این مدار به صورت 1 یا img0 که به ترتیب به منزله تجزیه ماتریس ابتدایی با img0 یا img0 است، محاسبه می‌شود.

3-2 ارزیابی هزینه

به منظور بررسی ارزیابی هزینه، حد بالای سه معیار تعداد CNOT، عمق مدار کوانتومی و تعداد کل گیت‌ها در میان جواب‌های تولیدشده در فضای جواب SSG مورد بررسی قرار می‌گیرند.

3-2-1 تعداد CNOT

رابطه بازگشتی (12) تعداد گیت‌های CNOT را که روش پیشنهادی برای یک مدار img0 تولید می‌کند، نشان می‌دهد

img0        (12)

که در آن img0، img0، img0 و img0 مشابه با حالت قبل هستند. لازم به ذکر است که عبارت img0 در (12)، تعداد گیت‌های CNOT مربوط به کوانتوم مالتی‌پلکسرهای میانی را نشان می‌دهد. رابطه بازگشتی (13)، تعداد گیت‌های CNOT تولیدشده در یک مدار img0 را حساب می‌کند

img0        (13)

3-2-2 هزینه کل گیت‌ها

برای محاسبه تعداد کل گیت‌های یک مدار کوانتومی، ابتدا تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی محاسبه ‌می‌شود. رابطه بازگشتی (14) به منظور ارزیابی حداکثر تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی که این روش برای هر مدار img0 تولید می‌کند، استفاده می‌شود

img0        (14)

اگر ماتریس img0 داده‌شده با روش img0 تجزیه شود، آن گاه تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی تولیدشده در آن، img0 است. در غیر این صورت، اگر در (10) img0 باشد (یعنی یک مرحله روش سنتز QSD اعمال شده باشد)، آن گاه چهار ماتریس img0 و سه گیت مالتی‌پلکس‌شده img0 تولید می‌شوند. تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی در ماتریس‌های غیر ابتدایی و ابتدایی img0 به ترتیب با img0، img0 و img0 نشان داده می‌شوند. img0، img0، img0 و img0 به ترتیب اندیس چهار ماتریس img0 از سمت چپ به سمت راست مدار هستند و با استفاده از دستورهای 11 تا 14 از الگوریتم شکل 4 به دست می‌آیند. در نتیجه، تعداد کلی گیت‌های تک‌کیوبیتی با جمع‌کردن گیت‌های تک‌کیوبیتی در این چهار ماتریس img0 تولیدشده به علاوه تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی در گیت‌های مالتی‌پلکس‌شده img0 به دست می‌آید. تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی در گیت‌های مالتی‌پلکس‌شده img0 برابر img0 است.

رابطه بازگشتی (15)، تعداد گیت‌های img0 تولیدشده در یک مدار img0 را حساب می‌کند

img0        (15)

مقدار این کاهش از روی img0 این ماتریس به دست می‌آید که در رابطه بازگشتی (11) محاسبه شده است. اگر img0 باشد، یعنی این ماتریس با روش img0 برای یک img0 سنتز شده و چون اختلاف تعداد گیت‌های img0 در ماتریس‌های ابتدایی و غیر ابتدایی تولیدشده در روش سنتز img0 با img0 برابر با سه است، در غیر این صورت، آخرین ماتریس یکانی تولیدشده برای این مدار با روش img0 سنتز شده و در نتیجه اختلاف بین img0 و img0 برابر با تعداد گیت‌های تک‌کیوبیتی که با روش img0 تولید می‌شوند خواهد بود و برابر با img0 است.

رابطه (16) مجموع کلی گیت‌های تولیدشده به این روش را که از جمع (12) با (14) به دست آمده است، نشان می‌دهد

img0        (16)

رابطه بازگشتی (17)، img0 را حساب می‌کند

img0        (17)

3-2-3 عمق مدار

مطابق (6)- فرمول محاسبه عمق مدار- باید تعداد گیت‌های موازی را به دست آورد. از آنجایی که تعداد img0 گیت تک‌کیوبیتی در یک مدار تجزیه‌شده با روش img0 وجود دارند که می‌توانند موازی با بقیه مدار اجرا شوند، پس رابطه بازگشتی عمق مدار کوانتومی به صورت (18) است

img0        (18)

مشابه با img0، وقتی در رابطه img0 یک مرحله تجزیه بازگشتی QSD اعمال گردیده است، چهار ماتریس یکانی img0 و سه گیت مالتی‌پلکس‌شده img0 تولید می‌شوند. عمق‌های ماتریس‌های یکانی img0 غیر ابتدایی و ابتدایی به ترتیب با img0، img0 و img0 نشان داده می‌شوند که img0، img0، img0 و img0 مشابه با حالت قبل هستند. در نتیجه، عمق کلی مدار با جمع عمق این چهار ماتریس img0 به علاوه عمقی که به علت گیت‌های مالتی‌پلکس‌شده img0 به وجود می‌آید، محاسبه می‌شود.

رابطه بازگشتی (19) عمق مربوط به یک مدار img0 را حساب می‌کند


جدول 1: مقایسه بین img0 و img0 به ازای img0.

 

5

4

3

2

img0 

img0 

83522

17

2

img0 

img0 

5266

9

2

img0 

 

img0        (19)

مشابه با حالت قبل، وقتی img0 باشد، آن گاه اختلاف بین img0 و img0 برابر با سه محاسبه می‌شود. در غیر این صورت، اختلاف بین img0 و img0 برابر با عمق مربوط با img0 است. این عمق می‌تواند با استفاده از کم‌کردن تعداد گیت‌های موازی در آن، یعنی تعداد کیوبیت‌های آن img0 از مجموع کل گیت‌های آن به دست آید.

3-2-4 تحلیل اندازه فضای جواب

همان طور که گفته شد، روش SSG به تعداد نمایی بسیار بزرگی از حالات مختلف برای تجزیه می‌انجامد. قابل توجه است که در فرمول‌های بازگشتی ارائه‌شده (روابط (12)، (16) و (18))، هزینه از جمع چهار هزینه محاسبه می‌شود. با استفاده از جابه‌جاپذیری جمع، مشخص است که تعداد زیادی از این حالت‌ها به یک هزینه یکسان کوانتومی می‌انجامند و تنها یکی از آن ترکیب‌ها می‌تواند مورد بررسی قرار گیرد. به طور خاص‌تر، حداکثر تعداد حالت‌های با هزینه مختلف کوانتومی با رابطه بازگشتی (20) محاسبه می‌شود

img0        (20)

برای محاسبه این امر به بیان دیگر، مسأله را به فرم img0 در نظر بگیرید و فرض کنید که img0، img0 و img0 هر کدام img0 مقدار متمایز 
و img0 نیز img0 مقدار متمایز دیگر می‌تواند داشته باشد. در ادامه محاسبه می‌کنیم که img0 حداکثر چند مقدار متمایز می‌تواند داشته باشد. img0 تعریف می‌کنیم و مشخص است که img0. تعداد حالات مختلف img0 را img0 در نظر می‌گیریم. به سادگی می‌توان بررسی کرد که تعداد حالات مختلف img0 (یعنی img0) برابر خواهد بود با img0. تعداد حالات مختلف img0 نیز می‌تواند به 3 حالت زیر افراز شود:

1)        img0، img0 و img0 هر سه برابر هستند. در این صورت تعداد حالت‌ها برابر با img0 خواهد بود.

2)        img0، img0 و img0 هر سه متمایز هستند. در این صورت تعداد حالت‌ها برابر با جایگشت 3 از img0 یعنی img0 خواهد بود.

3)        دقیقاً  دو  تا  از  مقادیر img0، img0 و img0 برابر  و  یکی  متمایز  است.  در  این صورت تعداد حالت‌ها برابر با جایگشت 2 از img0 یعنی img0 خواهد بود.

با این توضیحات، img0 به صورت (21) محاسبه می‌شود

img0        (21)

قابل ذکر است که در محاسبه تعداد حالات مختلف فضای جواب (یعنی img0)، img0 و برابر با img0 است. با اضافه‌کردن یک حالت بیشتر به علت روش سنتز CSD، این تعداد به صورت (20) محاسبه 
می‌شود.  جدول 1، مقایسه  بین  تعداد  حالات  کل img0 و  img0 را به ازای 

img0 

1: img0

2: if img0

3: then return img0

4: img0

5: img0

6: for img0 to img0

7: img0

8: for all img0

9: if img0 has Pareto-optimal costs //if img0 is not dominated

           by all img0

10: then img0

11: img0

12: if img0 has Pareto-optimal costs //if img0 is not dominated

           by all img0

13: then img0

14: img0

15: img0

16: img0

17: return img0

 

شکل 5:  الگوریتم پیشنهادی MOQLS.

 

img0 نشان می‌دهد. قابل ذکر است که در مورد مدارهای تولیدشده توسط روش SSG که هزینه یکسان دارند، مدارهایی با کوچک‌ترین اندیس ممکن در نظر گرفته می‌شوند.

3-3 الگوریتم MOQLS

الگوریتم MOQLS به منظور تولید مدارات با بهترین جواب‌ها 
در فضای جواب ایجادشده با روش تولید فضای جواب SSG (جواب‌های 

با هزینه‌های بهینه پرتو) روی img0 کیوبیت، با استفاده از یک رهیافت مبتنی بر برنامه‌ریزی پویا، به صورت پایین به بالا با شروع از دو کیوبیت، جواب‌های بهینه پرتو را تولید می‌کند تا به img0 مورد نظر برسد (شکل 5).

قضیه 1: الگوریتم MOQLS تمام مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتوی سنتز منطقی چندهدفه را در فضای جواب تشکیل‌شده با روش SSG تولید می‌کند.

اثبات: به سادگی می‌توان دید که به ازای img0، مدار img0 (که روش تجزیه آن QSD است) هزینه بهینه پرتو دارد و لذا در مجموعه جواب تولیدشده توسط روش MOQLS قرار می‌گیرد. حال مدارهای با هزینه‌های بهینه پرتو روی img0 کیوبیت img0، یعنی img0 و یک عضو دلخواه از این مجموعه را با نام img0 در نظر بگیرید. اگر img0 باشد، یعنی این مدار با روش CSD تجزیه شده است، آن گاه این مدار هزینه‌های بهینه پرتو دارد، لذا در این مجموعه قرار داده شده است. اگر img0 باشد، اثبات با برهان خلف انجام می‌گیرد. فرض کنید img0 در پایه img0 به صورت img0 نوشته شود و حداقل یک رقم مانند img0 در این عدد وجود داشته باشد که img0 هزینه‌های غیر بهینه پرتو دارد. در نتیجه حداقل یک مدار img0 وجود دارد که حداقل یکی از هزینه‌های آن مانند img0، کوچک‌تر از هزینه متناظر در img0 است و هزینه‌های دیگر آن نیز از هزینه متناظر در img0 کوچک‌تر یا مساوی است. اگر این مدار به جای img0 در نظر گرفته شود، به مدار دیگر img0 کیوبیتی مانند img0 می‌انجامد که هزینه img0 آن از هزینه img0 مربوط به img0  کوچک‌تر  و هزینه‌های  دیگر آن  نیز از  هزینه‌های img0  کوچک‌تر 

جدول 2: مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتو تولیدشده با روش سنتز MOQLS 
در فضای جواب ایجادشده توسط روش SSG برای img0.

 

تجزیه

تعداد CNOT

تعداد کل گیت‌ها

عمق

img0 

3

10

7

 

جدول 3: مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتو تولیدشده با روش سنتز MOQLS 
در فضای جواب ایجادشده توسط روش SSG برای img0.

 

تجزیه

تعداد CNOT

تعداد کل گیت‌ها

عمق

img0 

20

55

41

img0 

26

58

51

 

جدول 4: مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتو تولیدشده با روش سنتز MOQLS 
در فضای جواب ایجادشده توسط روش SSG برای img0.

 

تجزیه

تعداد CNOT

تعداد کل گیت‌ها

عمق

img0 

100

259

201

img0 

106

262

211

img0 

112

265

221

img0 

118

268

231

img0 

124

271

241

img0 

118

249

234

 

 

[1] . Logical Level

[2] . Logical Depth

[3] . Multi-Objective Logic Synthesis

[4] . Depth of Circuit

[5] . Multi-Objective Quantum Logic Synthesis

[6] . Muli-Objective Dynamic Programming

[7] . Solution Space Generator

جدول 5: مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتو تولیدشده با روش سنتز MOQLS در فضای جواب ایجادشده توسط روش SSG برای img0.

 

تجزیه

تعداد CNOT

تعداد کل گیت‌ها

عمق

img0 

444

1123

889

img0 

450

1126

899

img0 

456

1129

909

img0 

462

1113

922

img0 

468

1116

932

img0 

474

1119

942

img0 

480

1103

955

img0 

486

1109

965

img0 

492

1109

975

img0 

498

1093

988

img0 

504

1096

998

img0 

510

1099

1008

img0 

516

1102

1018

img0 

522

1105

1028

img0 

516

1083

1021

img0 

494

1016

985

 

 

یا مساوی است. لذا مدار img0 بر مدار img0 غالب است که با بهینه پرتو بودن img0 در تناقض می‌باشد.

4-       نتایج

جداول 2 تا 5 مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتو تولیدگردیده را  توسط  روش  سنتز  MOQLS  در  فضای  جواب  ایجادشده  توسط  روش

SSG برای img0 به همراه تجزیه‌های مربوط نشان می‌دهند. این جداول بیان می‌کنند که با استفاده از یک رهیافت پایین به بالای روش برنامه‌ریزی پویای چندهدفه، چگونه این مسأله می‌تواند حل شود. روش ارائه‌شده فضای جواب بزرگ‌تری را نسبت به تمام روش‌های CSD [17]، QSD [18]، BQD [19] و IBQD [20] جستجو می‌کند. در واقع این روش، تمام حالات مختلف ترکیب این روش‌ها را بررسی می‌کند و تمام روش‌های ذکرشده، حالت‌های خاصی از MOQLS هستند. همچنین این روش، حالاتی را تولید می‌کند که در هیچ یک از روش‌های ذکرشده قادر به تولید نیست. روش MOQLS برای سنتز منطقی ماتریس‌های یکانی عمومی، بهترین جواب‌ها در فضای جواب تولیدشده (نقاط بهینه پرتو) را ارائه کرده است. هر یک از این جواب‌ها می‌توانند در تکنولوژی‌های مختلف کوانتومی از اهمیت‌های مختلفی برخوردار باشند. برای مثال اگر در یک تکنولوژی، عمق از اهمیت بیشتری برخوردار باشد (مثلاً تکنولوژی تله‌یونی)، روش QSD به بهترین عمق کوانتومی می‌انجامد.

5-       جمع‌بندی و پیشنهادهایی برای کارهای آتی

در این مقاله، یك روش سنتز منطقی چندهدفه مدارهای كوانتومی با هدف بهبود معیارهای ارزیابی مدار (تعداد CNOT، تعداد کل گیت‌ها و عمق مدار) معرفی شد که مبتنی بر ترکیبی از دو روش سنتز منطقی CSD و QSD در مدل محاسباتی مداری در جهت بهبود معیارهای ارزیابی مدار برای تولید مدار بهینه است. در روش پیشنهادی، فضای جوابی از ترکیب‌های مختلف این دو روش سنتز ایجاد می‌شود. فضای جواب ایجادشده، یک فضا با اندازه نمایی بسیار بزرگ است. سپس با استفاده از یک رهیافت پایین به بالا از روش حل برنامه‌ریزی پویای چندهدفه، روشی ارائه شد تا تنها بخشی از کل فضای جواب، برای یافتن مدارهای کوانتومی با هزینه‌های بهینه پرتو جستجو شوند و نشان داده شد که این روش می‌تواند نتایج موازنه‌ای از لحاظ این سه معیار ارزیابی 
مدار نسبت به روش‌‌های قبلی ارائه‌شده تولید كند. هر یک از پاسخ‌های تولیدشده، با توجه به قیدهایی که تکنولوژی‌های ساخت کوانتومی دارند می‌توانند حائز اهمیت باشند. به عنوان یك كار آتی در این زمینه، یك روش سنتز چندهدفه آگاه از تحمل‌پذیری اشکال كه مبتنی بر روش سنتز پیشنهادی برای کتابخانه کلیفوردimg0 است، در حال بررسی می‌باشد.

مراجع

[1]       G. E. Moore, "Cramming more components onto integrated circuits," Electronics, vol. 38, no. 8, pp. 114-117, 19 Apr. 1965.

[2]       C. P. Williams, Explorations in Quantum Computing, Springer Verlog, Feb. 2011.

[3]       M. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press, Jan 31, 2011.

[4]       M. Lukac, et al., "Evolutionary approach to quantum and reversible circuit synthesis," Artificial Intelligence Review, vol. 20, pp. 361-417, Jan. 2003.

[5]       R. P. Feynman, "Simulating physics with computers," International J. of Theoretical Physics, vol. 21, no. 6-7, pp. 467-488, Jun. 1982.

[6]       D. Deutsch, "Quantum theory, the church-turing principle and the universal quantum computer," in Proc. of the Royal Society London A, vol. 400, no. 1818, pp. 97-117, Jun. 1985.

[7]       P. W. Shor, "Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring," in Proc. of the 35th Annual Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 124-134, Santa Fe, NM, USA, 20-22 Nov. 1994.

[8]       P. W. Shor, "Polynomial-time algorithms for prime factorization
and discrete alogarithms on a quantum computer," SIAM J. on Computing, vol. 26, no. 5, pp. 1484-1509, Oct. 1997.

[9]       L. K. Grover, "A fast quantum mechanical algorithm for database search," in Proc. of the 28th Annual ACM Symp. on the Theory of Computing, STOC’96, pp. 212-219, Philadelphia, PA, USA, 22-24 May 1996.

[10]       G. B. Charles and H. Bennett, "Quantum cryptography: public key distribution and coin tossing," in Proc. of IEEE Int. Conf. on Computer System and Signal Processing, pp. 175-179, Bangalore, India, 10-12 Dec.. 1984.

[11]       C. H. Bennett, et al., "Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels," Physical Review Letters, vol. 70, no. 13, pp. 1895-1899, 29 Mar. 1993.

[12]       C. H. Bennett and S. J. Wiesner, "Communication via one-and
two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states," Physical Review Letters, vol. 69, no. 20, pp. 2881-2884, Nov. 1992.

[13]       A. Barenco, et al., "Elementary gates for quantum computation," Physical Review A, vol. 52, no. 5, pp. 3457-3467, Nov. 1995.

[14]       G. Cybenko, "Reducing quantum computations to elementary unitary operations," Computing in Science and Engineering, vol. 3, no. 2, pp. 27-32, Mar./Apr. 2001.

[15]       V. V. Shende, I. L. Markov, and S. S. Bullock, "Minimal universal two-qubit quantum circuits," Physical Review A, vol. 69, pp. 062321-062329, Jun. 2004.

[16]       M. Mottonen, J. J. Vartiainen, V. Bergholm, and M. M. Salomaa, "Quantum circuits for general multiqubit gates," Physical Review Letters, vol. 93, Article ID: 130502, Sept. 2004.

[17]       V. Bergholm, J. J. Vartiainen, M. Mottonen, and M. M. Salomaa, "Quantum circuits with uniformly controlled one-qubit gates," Physical Review A, vol. 71, no. 5, pp. 23-30, May 2005.

[18]       V. V. Shende, S. S. Bullock, and I. L. Markov, "Synthesis of quantum-logic circuits," IEEE Trans. on CAD, vol. 25, no. 6, pp. 1000-1010, Jun. 2006.

[19]       M. Saeedi, M. Arabzadeh, M. Saheb Zamani, and M. Sedighi, "Block-based quantum-logic synthesis," Quantum Information and Computation J., vol. 11, no. 3, pp. 262-277, Mar. 2011.

[20]       ك. مرجوعي، م. هوشمند، م. صاحب‌الزماني و م. صديقي، "سنتز منطقی مدارهاي كوانتومي با استفاده از روش مبتني بر بلوك بهبوديافته،" نشريه مهندسي برق و مهندسي كامپيوتر ايران، ب- مهندسي كامپيوتر، سال 14، شماره 3، صص. 239-248، پاييز 1395.

[21]       M. Steane, "Error correcting codes in quantum theory," Phys. Rev. Lett., vol. 77, no. 5, pp. 793-797, Jul. 1996.

[22]       D. Bacon, "Operator quantum error-correcting subsystems for self-correcting quantum memories," Phys. Rev. A, vol. 73, no. 1, pp. 012 34001-012 4013, Jan. 2006.

[23]       D. Forney, M. Grassl, and S. Guha, "Convolutional and tail-biting quantum error-correcting codes," IEEE Trans. on Information Theory, vol. 53, no. 3, pp. 865-880, Mar. 2007.

[24]       M. Houshmand, S. Hosseini-Khayat, and M. M. Wilde, "Minimalmemory, non-catastrophic, polynomial-depth quantum convolutional encoders," IEEE Trans. on Information Theory,
vol. 59, no. 2, pp. 1198-1210, Feb. 2013.

[25]       V. Kliuchnikov, D. Maslov, and M. Mosca, "Fast and effcient exact synthesis of single qubit unitaries generated by clifford and T gates," Quantum Information and Computation, vol. 13, no. 7-8, pp. 607-630, Jul. 2013.

[26]       C. Lin and A. Chakrabarti, "FTQLS: fault-tolerant quantum logic synthesis," IEEE Trans. on VLSI Systems, vol. 22, no. 6, pp. 1350-1363, Jun. 2013.

[27]       B. Giles and P. Selinger, "Exact synthesis of multiqubit Clifford+T circuits," Physical Review A, vol. 87, no. 3, Article ID: 032332, Mar. 2013.

[28]       P. Niemann, R. Wille, and R. Drechsler, "Advanced exact synthesis of Clifford+T circuits," Quantum Information Processing, vol. 19, Article ID: 317, 23 pp., 27 Aug. 2020.

[29]       D. Ruffinelli and B. Barán, "Linear nearest neighbor optimization in quantum circuits: a multiobjective perspective," Springer Science+Business Media, LLC, pp. 1-26, Mar. 2017.

[30]       ب. رستمیان ملکی و م. محمدی، "طراحی چندهدفه مدارهای کوانتومی با استفاده از برنامه‌نویسی ژنتیک،" مجموعه مقالات نوزدهمین كنفرانس ملي سالانه انجمن كامپیوتر ايران، دانشكده مهندسي كامپیوترصص. 1177-1182، ، دانشگاه شهید بهشتي، تهران، 15-13 اسفند 1392.

[31]       V. V. Shende, S. S. Bullock, and I. L. Markov, "Synthesis of quantum-logic circuits," IEEE Trans. on CAD, vol. 25, no. 6, pp. 1000-1010, Jun. 2006.

[32]       A. U. Khalid, FPGA Emulation of Quantum Circuits, MS Thesis: McGill University, Mar. 2005.

[33]       V. V. Shende, I. L. Markov, and S. S. Bullock, "Smaller two-qubit circuits for quantum communication and computation," in Proc. Design Automation and Test in Europe Conf. and Exhibition, pp. 980-985, Paris, France, 16-20 Feb. 2004.

[34]       D. Maslov, G. W. Dueck, D. M. Miller, and C. Negrevergne, "Quantum circuit simplification and level compaction," IEEE Trans. on CAD, vol. 27, no. 3, pp. 436-444, Mar. 2008.

[35]       T. H Cormen, et al., Introduction to Algorithms, MIT Press, Jun. 2009.

 

آرزو رجایی در سال 1386 مدرك كارشناسي مهندسي کامپیوتر گرایش نرم­افزار خود را از دانشگاه فردوسی مشهد و در سال 1390 مدرك كارشناسي ارشد مهندسي کامپیوتر گرایش نرم­افزار را از دانشگاه شیخ بهایی اصفهان دريافت نمود. از سال 1391 الي 1396 نام­برده به عنوان مدرس حق التدریس در دانشگاه علمی و کاربردی بهزیستی مشهد به كار مشغول بوده و  پس از آن به دوره دكتراي مهندسي کامپیوتر گرایش نرم­افزار در دانشگاه آزاد اسلامی مشهد وارد گرديد و تاکنون در همان دانشگاه مشغول به تحصیل می­باشد. مهندس رجایی از سال 1395 تاکنون به عنوان مدرس فرهنگی در 
هنرستان­های دولتی مشهد مشغول به فعالیت می­باشد. زمينه‎هاي علمي مورد علاقه ایشان متنوع بوده و شامل موضوعاتي مانند ايده‎هاي نوین در محاسبات کوانتومی، طراحی وب و پایگاه داده­ها مي‎باشد.

 

محبوبه هوشمند کارشناسی و کارشناسی‌ارشد خود را در رشته  مهندسی کامپیوتر، گرایش نر‌م‌افزار به ترتیب در سال‌های 1386 و 1389 از دانشگاه فردوسی مشهد و دکترای خود را در رشته مهندسی کامپیوتر، گرایش معماری‌کامپیوتر از دانشگاه صنعتی امیرکبیر در سال 1393 دریافت کرده است. نام­برده از آخر تابستان  1395 تا آخر تابستان  1396 محقق پسا دکترا در زمینه رمزنگاری کوانتومی به طور مشترک در دانشگاه ملی سنگاپور و دانشگاه تکتولوژی و طراحی سنگاور بوده است. دکتر هوشمند در حال حاضر استادیار گروه مهندسی کامپیوتر دانشگاه آزاد اسلامی مشهد است. علایق پژوهشی ایشان شامل نظریه اطلاعات و محاسبات کوانتومی، رمزنگاری، سیستم‌های چندعاملی و داده‌کاوی است.

 

سیدعابد حسینی دکترای خود را در رشته مهندسی برق گرایش کنترل از دانشگاه فردوسی مشهد در سال 1395 دریافت کرده است. دکتر حسینی در حال حاضر استادیار گروه مهندسی برق دانشگاه آزاد اسلامی واحد مشهد است. علائق پژوهشی نام­برده در زمینه‎ی کنترل سیستم‌های هوشمند، پردازش و تحلیل سیگنال‎های حیاتی، پردازش و تحلیل تصاویر پزشکی، الکتروفیزیولوژی و مدل‎سازی فعالیت های شناختی در انسان است. ایشان تاکنون بیش از 8 جلد کتاب و فصل کتاب بین‌المللی ویراستاری و تدوین نموده، افزون بر 80 مقاله‎ علمی در مجلات معتبر و کنفرانس های ملی و بین­المللی و ده‎ها گزارش فنی و طرح پژوهشی را به چاپ رسانیده است.

 

 

 

 


Related articles

The rights to this website are owned by the Raimag Press Management System.
Copyright © 2017-2024

Home| Login| About Rimag| Contact Us|
[فارسی] [العربية] [fa] [ar]