Manuscript ID : 1401112141153 Visit : 1498 Page: 291 - 295

Article Type: Original Research

Optimization of Initial States for Adiabatic Quantum Computing in a Quantum Algorithm

Subject Areas : electrical and computer engineering

1 - Faculty of Electrical Engineering, Tafresh University, Tafresh 3951879611, Iran
2 - Faculty of Physics, Tafresh University, Tafresh 3951879611, Iran

Received: 2023-02-10 Accepted : 2023-08-22 Published : 2024-04-17

Keywords: Deutsch’s algorithm, adiabatic quantum computation, quantum computing,

Abstract :

In any adiabatic quantum computation, there exist an initial state that must be used in the corresponding quantum algorithm. In this paper, the relation between an initial state and allowed energy level of an implemented generalized Deutsch’s algorithm is investigated. To study the generalized Deutsch’s algorithm, a compacted form for the output states of the algorithm is obtained. It has been shown that one can prepare the initial states in such a way that control the minimum of energy. By using numerical methods, the minimum values of allowed energy levels for the initial state are obtained. Also, to study the dynamics of the system is chosen. The corresponding Hamiltonian for the algorithm is obtained and it has been shown that one of the energy levels describes a binding state.

References:

[1] IBM, IBM Quantum Computing, https://www.ibm.com/quantum/
[2] M. A. Nielsen and, I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, University Press, Cambridge, 2000.
[3] R. Rennie, Oxford Dictionary of Physics, 7rd ed., Oxford University Press, Oxford 2015.
[4] D. Deutsch, "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer," Proc. R. Soc. Lond. A., vol. 400, no. 1818, pp. 97-117, 1985.
[5] D. Deutsch and R. Jozsa, "Rapid solution of problems by quantum computation," Proc. R. Soc. Lond. A., vol. 439, no. 1907, pp. 553-558, 1992.
[6] E. Bernstein and U. Vazirani, "Quantum complexity theory," in Proc. of the Twenty-Fifth Annual ACM Symp. on Theory of Computing, STOC’93, pp. 11-20, San Diego, CA, USA, 16-18 May 1993.
[7] E. Bernstein and U. Vazirani" Quantum complexity theory," SIAM J. Comput., vol. 26, no. 5, pp.1411-1473, 1997.
[8] D. R. Simon, " On The Power of Quantum Computation;" in Proc. of the 35th IEEE Annual Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 116-123 Symposium, Santa Fe, NM, USA, 20-22 Nov. 1994.
[9] K. Nagata and T. Nakamura, "Some theoritically organized algorithm for quantum computer" Int. J. Theor. Phys., vol. 59, no. 2, pp. 611-621, 2020.
[10] K. Nagata and T. Nakamura, "Generalization of Deutsch’s algorithm" Int. J. Theor. Phys., vol. 59, no. 8, pp. 2557-2661, 2020.
[11] P. W. Shor,"Algorithms for quantum computations: Discreate log and factoring," Proc. of the 35th IEEE Annual Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 124-134, Santa Fe, NM, USA, 20-22 Nov. 1994.
[12] E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, and M. Sipser, Quantum Computation by Adiabatic Evolution, arXive: quant-ph/001106.
[13] A. M. Child, E. Farhi, and J. Preskill, "Robustness of adiabatic quantum computation," Phys. Rev. A, vol. 65, no. 1, pp. 0123220-01232210, Jan. 2002.
[14] S. Das, R. Kobes, and G. Kunstatter, "Adiabatic quantum computation and Deutsch’s algorithm" Phys. Rev. A, vol. 65, no. 6, pp.0623100-0623107, Jun. 2002.
[15] T. Albash and D. A. Lidar "Adiabatic quantum computation", Rev. Mod. Phys., vol. 90, no. 1, pp. 0150020-0150035, Jan./Mar. 2018.

Full-Text:

معرفي يک روش جديد خوشه‌يابي خودکار

مقاله پژوهشی

بهینه‌سازی حالت‌های اولیه برای رایانش کوانتومی آدیاباتیک
در یک الگوریتم کوانتومی

آرش کریم‌خانی و امیر قلعه

چکیده: در هر رایانش کوانتمی آدیاباتیک، یک حالت اولیه وجود دارد که در الگوریتم کوانتومی مربوط استفاده می‌شود. در این مقاله، رابطه بین یک حالت اولیه و ترازهای انرژی مجاز در یک الگوریتم تعمیم‌یافته دش پیاده‌سازی‌شده مطالعه گردیده است. برای مطالعه الگوریتم تعمیم‌یافته دش، یک فرم فشرده برای حالت‌های خروجی به‌دست آمده است. نشان داده می‌شود که می‌توان حالت اولیه را طوری فراهم کرد که کمینه‌های انرژی را کنترل نمود. با استفاده از روش‌های عددی، کمینه انرژی حالت‌های مجاز برای حالت اولیه به‌دست آورده شده و برای بررسی دینامیک سامانه، حالت اولیه به‌دست‌آمده انتخاب گردیده است. هامیلتونی مربوط به الگوریتم، به‌دست آورده شد و مشخص گردید که یکی از ترازهای انرژی یک حالت مقید را توصیف می‌کند.

کلیدواژه: الگوریتم دش، رایانش کوانتومی آدیاباتیک، رایانش کوانتومی.

1- مقدمه

پیشرفت‌های اخیر در تکنولوژی مربوط به رایانه‌های کوانتومی باعث ساخت آنها شده است. همچنین تعلق‌گرفتن جایزه نوبل فیزیک سال 2022 به امر مربوط به رایانش کوانتومی، نشان‌دهنده توجه روزافزون به این شاخه پربار علمی است [1].

اساس کارکرد رایانه‌های کوانتومی بر مبنای الگوریتم‌های کوانتومی است [2] و [3]. در الگوریتم‌های کوانتومی تلاش می‌شود با استفاده از ویژگی‌های مربوط به مکانیک کوانتوم مانند درهم‌تنیدگی کوانتومی، دستورالعمل‌هایی برای حل مسائل داده شود [2] و [3]. تمایز الگوریتم‌های کوانتومی نسبت به الگوریتم‌های کلاسیک، سرعت بالای پردازش محاسباتی است و اولین الگوریتم کوانتومی که سرعت بالای اجرای آن اثبات شد به الگوریتم دش مربوط است [4] و [5]. بعد از ارائه الگوریتم دش، تلاش‌های زیادی در جهت حل مسائل با استفاده از الگوریتم‌های کوانتومی صورت گرفته است که از جمله آنها می‌توان به الگوریتم برنشتاین- وزیرانی [6] و [7]، الگوریتم سیمون [8] و الگوریتم شور اشاره کرد. به‌تازگی الگوریتم تعمیم‌یافته دش در [9] و [10] پیشنهاد گردیده است که اساس این الگوریتم تعمیم‌یافته بر مبنای یک فضای هیلبرت چهاربعدی است که درهم‌تنیدگی یک سامانه کوانتومی را توصیف می‌کند. در این مقاله تلاش گردیده که در چارچوب رایانش کوانتومی آدیاباتیک [11] تا [13]، یک هامیلتونی به این سامانه نسبت داده شود و الگوریتم تعمیم‌یافته دش با استفاده از معادله شرودینگر و قضیه آدیاباتیک کوانتومی بررسی گردد.

2- ساخت هامیلتونی‌

ابتدا لازم است که مروری سریع بر الگوریتم تعمیم‌یافته دش در [4] و [5] صورت گیرد. در این الگوریتم تلاش می‌شود مسأله پیداکردن یک نگاشت به‌گونه‌ای حل گردد که ماهیت نگاشت در یک گام محاسباتی به‌صورت کامل شناخته شود. لازم به ذکر است که در الگوریتم دش فقط مشخص می‌شد که آیا تابع ثابت است یا خیر؛ اما در الگوریتم تعمیم‌یافته دش ماهیت به‌صورت کامل مشخص می‌شود. در [4] و [5] حالت ورودی الگوریتم تعمیم‌یافته دش به‌صورت زیر پیشنهاد گردیده است

(1)

که

(2)

(3)

واضح است که حالت ورودی پیشنهادی، یک حالت درهم‌تنیده کوانتومی است. چون هر ذره با اسپین دارای دو درجه آزادی است، وقتی دو ذره را در نظر می‌گیریم، چهار درجه آزادی خواهیم داشت. فضای هیلبرت

دو ذره به‌صورت (4) تعریف می‌شود. اگر و

باشد، آنگاه

(4)

بنابراین فضای هیلبرت توصیف‌کننده سامانه مورد نظر به‌صورت یک فضای چهاربعدی است. با استفاده از این حالت ورودی در [5] نشان داده شده که خروجی‌های جدول 1 را خواهیم داشت.

در این مقاله ابتدا نشان داده می‌شود که چهار فرمول مستقل داده‌شده در [5] را که در جدول 1 آمده، می‌توان با یک فرمول کلی نوشت که به‌صورت (5) است

(5)

لازم به ذکر است که (5) در ابتدا توسط نویسندگان این مقاله پیشنهاد شد و اساس ساخت هامیلتونی برای الگوریتم تعمیم‌یافته دش است.

در ساخت هامیلتونی برای الگوریتم تعمیم‌یافته دش، هامیلتونی‌های ورودی و هامیلتونی خروجی به‌صورت زیر تعریف می‌شود [14] و [15]

(6)

که یک ماتریس واحد همانی است. حالا هامیلتونی سامانه به صورت زیر تعریف می‌شود

(7)

که یک تابع زمانی دلخواه است که در شرط‌های و

صدق می‌کند و همچنین اگر و ،

آنگاه نماد معرف ضرب تانسوری به‌صورت زیر است

(8)

با استفاده از ضرب تانسوری، شکل صریح هامیلتونی از (6) و (7) به‌صورت (9) به‌دست می‌آید

(9)

که

(10)

جدول 1: خروجی‌های الگوریتم تعمیم‌یافته دش.

شرط	خروجی

(11)

برای ادامه کار لازم است که مقادیر ویژه هامیلتونی پیدا شوند. چون ماتریس به‌صورت پارامتری داده شده، بهتر است از روش دستی و بدون استفاده از نرم‌افزار برای محاسبه ویژه مقادیر استفاده شود. روش استاندارد پیداکردن ویژه مقادیر را می‌توان استفاده کرد. بعد از محاسبات طولانی و استفاده از (2) و همچنین فرمول‌های استاندارد مربوط به پیداکردن ریشه‌های معادلات جبری مرتبه سوم، چهار مقدار ویژه هامیلتونی نشان داده شده در (9) به صورت (12) به‌دست خواهند آمد

(12)

که در آنها

(13)

و در نهایت (14) حاصل می‌شود. ویژه مقدارها همان ترازهای انرژی سامانه هستند. حالا وابستگی کمینه انرژی نسبت به حالت ورودی بررسی می‌شود؛ به عبارت دیگر ارتباط میان انتخاب ضرایب ورودی و به کمینه انرژی مطالعه می‌گردد. بدین منظور ابتدا متغیر زیر تعریف می‌شود

(15)

توجه شود که ضریب را همیشه می‌توان با رابطه به‌هنجارش، حذف کرد. حالا اکسترمم‌های انرژی سامانه نسبت به تغییرات به وسیله معادله زیر به‌دست می‌آید

(16)

که منجر به (17) می‌شود

[1] این مقاله در تاریخ 21 بهمن ماه 1401 دریافت و در تاریخ 15 مرداد ماه 1402 بازنگری شد.

آرش کریم‌خانی (نویسنده مسئول)، دانشكده مهندسي برق، دانشگاه تفرش، تفرش، ايران، (email: karimkhani@tafreshu.ac.ir).

امیر قلعه، گروه فیزیک، دانشگاه تفرش، تفرش، ايران،
(email: ghalee@tafreshu.ac.ir).

(14)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig11\fig1\f00.tif$

(الف)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig11\fig1\f01.tif$

(ب)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig11\fig1\f10.tif$

(ج)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig11\fig1\f11.tif$

(د)

شکل 1: ترازهای انرژی برای (الف) ، (ب) و ، (ج) و و (د) .

معادله به‌دست‌آمده، یک معادله غیرجبری برای بوده و حل آن فقط به‌وسیله رایانه ممکن است. بنابراین برای حل عددی آن با رایانه مجبور به انتخاب یک تابع برای هستیم. بدین منظور مطابق با [14] و [15]، به‌صورت انتخاب می‌شود که در آن یک زمان مشخصه و است. با روش‌های عددی مشخص می‌گردد که مقدار ، کمینه است و این حالت برای بررسی دینامیک سامانه انتخاب می‌شود. البته در روش آدیاباتیک کوانتومی، اختلاف بین ترازهای انرژی مهم است [14] و [15] و هرچقدر که اختلاف میان ترازهای
انرژی کمتر باشد، زمان گذار سامانه کوانتومی بین دو حالت هم کمتر خواهد بود. در قسمت‌های الف تا ج در شکل 1، ترازهای انرژی مربوط رسم شده‌اند.

توجه داریم که یک حالت مقید با انرژی منفی وجود دارد. برای مقایسه بهتر در شکل 2 اختلاف بین ترازهای انرژی رسم شده‌اند. همچنین مقدار کمینه اختلاف انرژی بین ترازهای مختلف انرژی برای حالات مختلف در

جداول 2 تا 5 ارائه گردیده است. جداول داده‌شده کمک می‌کنند دینامیک سامانه در شرایط آدیاباتیک بررسی شود.

3- نتیجه‌گیری

در این مقاله تلاش گردید که بهترین حالت اولیه برای الگوریتم تعمیم‌یافته دش پیدا شود. با استفاده از روش آدیاباتیک کوانتومی، یک هامیلتونی به سامانه نسبت داده شد و دینامیک سامانه با استفاده از حالت اولیه بهینه بررسی گردید. با داشتن کمینه اختلاف انرژی بین ترازهای انرژی می‌توان در مورد دینامیک رایانه کوانتومی مورد نظر اطلاعاتی را به‌دست آورد. از جمله این است که می‌توان گذار بین حالت‌های انرژی را بررسی کرد. از دیگر نتایج جالب این تحقیق، به‌دست‌آوردن فرمی فشرده برای حالت‌های خروجی الگوریتم تعمیم‌یافته دش است. همچنین با استفاده از هامیلتونی به‌دست‌آمده در این تحقیق مشخص شد که یکی از ترازهای انرژی یک حالت مقید را توصیف می‌کند.

(17)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig21\fig2\f00.tif$

(الف)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig21\fig2\f01.tif$

(ب)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig21\fig2\f10.tif$

(ج)

$Description: Description: C:\Users\Arash\Desktop\fig21\fig2\f11.tif$

(د)

شکل 2: اختلاف تراز انرژی‌های سامانه برای (الف) ، (ب) و ، (ج) و و (د) .

جدول 2: مقدار کمینه اختلاف انرژی بین ترازهای مختلف انرژی برای .

مشخصه تفاضل انرژی ترازها	کمینه اختلاف انرژی
101007/0
53995/0
26217/2
43924/0
14357/2
63626/1

جدول 3: مقدار کمینه اختلاف انرژی بین ترازهای مختلف انرژی برای
و .

مشخصه تفاضل انرژی ترازها	کمینه اختلاف انرژی
06307/0
53757/0
08302/2
44038/0
01720/2
46679/1

جدول 4: مقدار کمینه اختلاف انرژی بین ترازهای مختلف انرژی برای
و .

مشخصه تفاضل انرژی ترازها	کمینه اختلاف انرژی
07287/0
61270/0
08931/2
49999/0
01137/2
43323/1

جدول 5: مقدار کمینه اختلاف انرژی بین ترازهای مختلف انرژی برای .

مشخصه تفاضل انرژی ترازها	کمینه اختلاف انرژی
025961/0
51940/0
05838/2
49353/0
03242/2
53889/1

مراجع

[1] IBM, IBM Quantum Computing, https://www.ibm.com/quantum/

[2] M. A. Nielsen and, I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, University Press, Cambridge, 2000.

[3] R. Rennie, Oxford Dictionary of Physics, 7rd ed., Oxford University Press, Oxford 2015.

[4] D. Deutsch, "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer," Proc. R. Soc. Lond. A., vol. 400, no. 1818, pp. 97-117, 1985.

[5] D. Deutsch and R. Jozsa, "Rapid solution of problems by quantum computation," Proc. R. Soc. Lond. A., vol. 439, no. 1907, pp. 553-558, 1992.

[6] E. Bernstein and U. Vazirani, "Quantum complexity theory," in Proc. of the Twenty-Fifth Annual ACM Symp. on Theory of Computing, STOC’93, pp. 11-20, San Diego, CA, USA, 16-18 May 1993.

[7] E. Bernstein and U. Vazirani" Quantum complexity theory," SIAM J. Comput., vol. 26, no. 5, pp.1411-1473, 1997.

[8] D. R. Simon, " On The Power of Quantum Computation;" in Proc. of the 35th IEEE Annual Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 116-123 Symposium, Santa Fe, NM, USA, 20-22 Nov. 1994.

[9] K. Nagata and T. Nakamura, "Some theoritically organized algorithm for quantum computer" Int. J. Theor. Phys., vol. 59, no. 2, pp. 611-621, 2020.

[10] K. Nagata and T. Nakamura, "Generalization of Deutsch’s algorithm" Int. J. Theor. Phys., vol. 59, no. 8, pp. 2557-2661, 2020.

[11] P. W. Shor,"Algorithms for quantum computations: Discreate log and factoring," Proc. of the 35th IEEE Annual Symp. on Foundations of Computer Science, pp. 124-134, Santa Fe, NM, USA, 20-22 Nov. 1994.

[12] E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, and M. Sipser, Quantum Computation by Adiabatic Evolution, arXive: quant-ph/001106.

[13] A. M. Child, E. Farhi, and J. Preskill, "Robustness of adiabatic quantum computation," Phys. Rev. A, vol. 65, no. 1, pp. 0123220-01232210, Jan. 2002.

[14] S. Das, R. Kobes, and G. Kunstatter, "Adiabatic quantum computation and Deutsch’s algorithm" Phys. Rev. A, vol. 65, no. 6, pp.0623100-0623107, Jun. 2002.

[15] T. Albash and D. A. Lidar "Adiabatic quantum computation", Rev. Mod. Phys., vol. 90, no. 1, pp. 0150020-0150035, Jan./Mar. 2018.

آرش کریمخانی مدرک کارشناسی مهندسی برق در گرایش مخابرات خود را در سال 1383 از دانشگاه خواجه نصیرالدین طوسی دریافت کرد و در سال 1385 کارشناسی ارشد مهندسی برق در گرایش الکترونیک را در دانشگاه تربیت مدرس به انجام رساند و در ادامه در سال 1389 فارغالتحصیل دکتری برق در گرایش الکترونیک شد. زمينه‎هاي تحقيقاتي مورد علاقه ايشان عبارتند از: افزارههای الکترونیک، بلورهای فوتوالکترونیک، سلولهای خورشیدی و کامپیوترهای کوانتومی.

امیر قلعه در سال 1381 مدرك كارشناسي فیزیک خود را از واحد علوم وتحقیقات دانشگاه آزاد اسلامی دریافت کرد و در سال 1383 مدرک کارشناسی ارشد خود در گرایش فیزیک نظری را ازدانشگاه تبریز اخذ نمود. ایشان در ادامه در سال 1389 با مدرک دکتری فیزیک از دانشگاه تهران فارغ التحصیل شدند. تمرکز پژوهشی ایشان بر ذرات بنیادی و کیهان شناسی و بهبود الگوریتمهای کوانتومی است.

Automatic Change Detection by Intelligent Backgrounding Method
Print Date : 2003-03-21
Speed Estimation and Sensorless Torque Optimization of Single Phase Induction Motor
Print Date : 2003-06-21
Optimal Design of Three-Phase Squirrel-Cage Induction Motor for Electric Vehicle
Print Date : 2003-06-21
A New Method in Design and Implementation of Electronic Synchronizer Based on Phase Locked Loop for Fast Paralleling of Diesel–Generators
Print Date : 2003-06-21
A New Circuit for Protecting of Series Connected Power Thyristors
Print Date : 2003-06-21
Cooperation in Multi-Agent Systems Using Learning Automata
Print Date : 2003-06-21

Share To

Article Url

Optimization of Initial States for Adiabatic Quantum Computing in a Quantum Algorithm