Determination of Available Transfer Capability by Combined Method of Newton-Raphson-Seydel and Holomorphic Load Flow with Improved Matrix Calculations
Subject Areas : electrical and computer engineering
1 - Khorasan Institute of Higher Education
Keywords: Available transfer capability, holomorphic load flow, Newton-Raphson-Seydel, HVDC line,
Abstract :
This paper first demonstrates that high direct current lines will undoubtedly be the backbone of the future transmission network. The Newton Raphson Seydel alternating load flow equations are then combined with the direct current line equations. This paper employed matrix techniques to increase the speed of solving problems as the dimensions of the equations get larger. Furthermore, the holomorphic load flow does not require an initial estimate to run the load flow, and if a solution exists, the precise answer is calculated. The initial guess of Newton Raphson Seydel was calculated using this approach. In this paper, we describe a novel approach that can compute the available transfer capability in small and large networks with sufficient accuracy and speed by combining these methods. The simulation in this paper uses five networks: 39 IEEE buses, 118 IEEE buses, 300 IEEE buses, 145 Iowa state buses, and 1153 East Iran buses network. In addition, four approaches were employed for comparison: continuous power flow, the general minimum residual method, Newton Raphson Seydel classical method, and the standard holomorphic power flow method. The results of the simulations suggest that the proposed strategy is acceptable.
[1] M. Champion, "The Future of Power Is Transcontinental, Submarine Supergrids," Bloomberg Businessweek, https://www.bloomberg.com/news/features/2021-06-09/future-of-world-energy-lies-in-uhvdc-transmission-lines, Jun. 2021.
[2] S. Lumbreras, H. Abdi, and A. Ramos, Transmission Expansion Planning: The Network Challenges of the Energy Transition, Springer Nature Switzerland AG, 2021.
[3] G. D. A. Tinajero, M. Nasir, J. C. Vasquez, and J. M. Guerrero, "Comprehensive power flow modelling of hierarchically controlled AC/DC hybrid islanded microgrids," International J. of Electrical Power and Energy Systems, vol. 127, Article ID: 106629, 9 pp., May 2021.
[4] H. Zhang and S. Wang, "A distributed dynamic power flow algorithm for an interconnected system containing two-terminal LCC-HVDC tie-line," IEEE Access, vol. 9, pp. 28673-28683, 2021.
[5] W. Sicheng and G. Shan, "Available transfer capability analysis method of AC-DC power system based on security region," J. of Engineering IET, vol. 2019, no. 16, pp. 2386-2390, Mar. 2019.
[6] م. عیدیانی، "یافته‌های گذشته و مسیرهای آینده روش‌های تعیین قابلیت انتقال توان در دسترس، بخش اول، مفاهیم و روش‌های ایستا،" فصل‌نامه عصر برق، انجمن برق و الکترونیک ایران، شاخه خراسان، شماره 15، صص. 49-41، تابستان 1400.
[7] م. عیدیانی، "یافته‌های گذشته و مسیرهای آینده روش‌های تعیین قابلیت انتقال توان در دسترس، بخش دوم، روش‌های پویا،" فصل‌نامه عصر برقانجمن برق و الکترونیک ایران، شاخه خراسان، شماره 16، صص. 42-35، زمستان 1400.
[8] O. O. Mohammed, M. W. Mustafa, D. S. S. Mohammed, and A. O. Otuoze, "Available transfer capability calculation methods: a comprehensive review," Int. Trans. on Electrical Energy Syst., vol. 29, no. 6, Article ID: e 2846, 24 pp., Jun. 2019.
[9] م. عیدیانی، "تعیین پایداری ولتاژ و ATC ایستا با روش نیوتن- رافسون- سایدل توسعه‌یافته و مقایسه آن با روش حداقل پس‌ماند،" مجله فنی و مهندسی دانشگاه آزاد اسلامی مشهد، جلد 3، شماره 1، صص. 10-1، زمستان 1388.
[10] M. Eidiani, "A reliable and efficient method for assessing voltage stability in transmission and distribution networks," International J. of Electrical Power and Energy System, vol. 33, no. 3, pp. 453-456, Mar. 2011.
[11] I. S. V. Agnes, R. Narmathabanu, D. Devaraj, and M. Karuppasamypandiyan, "Estimation of dynamic ATC including Hopf bifurcation limit using step by step algorithm," Int. J. of Power and Energy Conversion, vol. 8, no. 2, pp. 365-369, Jan. 2017.
[12] I. S. V. Agnes, D. Devaraj, R. B. Namatha, and M. K. Pandiyan, "Differential evolution algorithm for computation of dynamic ATC in deregulated power system," in Proc. Int. Conf. on Intelligent Techniques in Control, Optimization and Signal Processing, 10 pp., Srivilliputtur, India, 23-25 Mar. 2017.
[13] S. Sayah and A. Hamouda, "Optimal power flow solution of integrated AC‐DC power system using enhanced differential evolution algorithm," Int. Trans. on Electrical Energy Syst., vol. 29, no. 2, Article ID: e2737, 11 pp., Feb. 2018.
[14] S. Devesh and S. P. Singh, "Real-time estimation of ATC using PMU data and ANN," IET Gener. Transm. Distrib., vol. 14, no. 17, pp. 3604-3616, Sept. 2020.
[15] D. Gupta and S. K. Jain, "Available transfer capability enhancement by FACTS devices using metaheuristic evolutionary particle swarm optimization (MEEPSO) technique," Energies, vol. 14, no. 4, Article ID: 869, 28 pp., 2021.
[16] T. L. Duong, T. T. Nguyen, N. A. Nguyen, and T. Kang, "Available transfer capability determination for the electricity market using cuckoo search algorithm," Engineering, Technology & Applied Science Research, vol. 10, no. 1, pp. 5340-5345, Feb. 2020.
[17] M. Eidiani, "Transient stability constrained available transmission capability (ATC)," J. of Electrical Engineering, Faculty of Electrical and Power Engineering, vol. 10, no. 3, pp. 48-54, 2010.
[18] M. Eidiani and M. H. M. Shanechi, "FAD‐ATC: a new method for computing dynamic ATC," International. J. of Electrical Power and Energy Sysems, vol. 28, no. 2, pp. 109‐118, Feb. 2006.
[19] A. Velusamy, N. B. Ramu, D. Durairaj, and K. Murugesan, "Differential evolutionary algorithm based optimal support vector machine for online DATC estimation incorporating transmission capacity margins," Int. Trans. on Electrical Energy Syst., vol. 27, no. 7, Article ID: e2331, 12 pp., Jul. 2017.
[20] M. Shaaban, "Behavior of power system equilibrium points in dynamic available transfer capability calculation," J. of Applied Science & Process Engineering, vol. 5, no. 1, pp. 242-248, 2018.
[21] W. Xiaoting, W. Xiaozhe, S. Hao, and L. Xi, "A data-driven sparse polynomial chaos expansion method to assess probabilistic total transfer capability for power systems with renewable," IEEE Trans. on Power Syst., vol. 36, no. 3, pp. 2573-2583, May 2020.
[22] S. Xin, T. Zhongbei, R. Yufei, L. Zhaohui, and T. Pietro, "Probabilistic available transfer capability assessment in power systems with wind power integration," IET Renew. Power Gener., vol. 14, no. 11, pp. 1912-1920, Aug. 2020.
[23] D. Hur, J. K. Park, B. H. Kim, and K. M. Son, "Security constrained optimal power flow for the evaluation of transmission capability on Korea electric power system," inProc. Power Engineering Society Summer Meeting, pp. 1133‐1138, Vancouver, Canada, 15-19 Jul. 2001.
[24] Y. Liu, et al., "Online TTC estimation using nonparametric analytics considering wind power integration," IEEE Trans. Power Syst., vol. 34, no. 1, pp. 494-505, Jan. 2019.
[25] M. Kim, D. Hur, Y. Nam, and J. Park, "Total transfer capability computation using small signal stability‐based security constrained optimal power flow," European Trans. on Electrical Power, vol. 21, no. 1, pp. 877‐894, Jan. 2011.
[26] Q. Gao, et al., "Surrogate-assisted optimal redispatch control for risk-aware regulation of dynamic total transfer capability," IET Gener. Transm. Distrib., vol. 15, no. 13, pp. 1949-1961, Jul. 2021.
[27] S. Kesherwani, A. Mohapatra, and S. C. Srivastav, "An efficient holomorphic embedded based approach for available transfer capability evaluation," Int. Electrical Power and Energy Syst., vol. 122, Article ID: 106164, 10 pp., Nov. 2020.
[28] M. Eidiani, "A reliable and efficient holomorphic approach to evaluate dynamic available transfer capability," International Trans. on Electrical Energy Systems, vol. 31, no. 11, Article ID: e13031, 14 pp., Nov. 2021.
[29] Y. Liu and K. Sun, "Solving power system differential algebraic equations using differential transformation," IEEE Trans. Power Syst., vol. 35, no. 3, pp. 2289-2299, May 2021.
[30] Y. Liu and K. Sun, Differential Transformation of Nonlinear Power Flow Equations, arXiv preprint arXiv:2004.08017, 5 pp., 2020.
[31] Y. Liu, K. Sun, and J. Dong, "A dynamized power flow method based on differential transformation," IEEE Access, vol. 8, pp. 182441-182450, 2020.
[32] M. Eidiani, "A new method of static available transfer capability computation in a high-penetration wind farm," Majlesi J. of Mechatronic Systems, vol. 10, no. 2, pp. 29-38, Jun. 2021.
[33] M. Eidiani, "An efficient differential equation load flow method to assess dynamic available transfer capability with wind farms," IET Renewable Power Generation, vol. 15, no. 16, pp. 1-13, 7 Dec. 2021.
[34] M. Eidiani, "A new hybrid method to assess available transfer capability in AC-DC networks using the wind power plant interconnection," IEEE Systems J., vol. 17, no. 1, pp. 1375 - 1382, Mar. 2022.
[35] O. Olobaniyi, O. Oparinde, and N. Ogundipe, "A comparative study of iterative and non-iterative load-flow methods: a case of newton raphson and holomorphic embedding approaches," Nigerian J. of Engineering, vol. 29, no. 1, pp. 64-71, Apr. 2022.
[36] M. Shamseldein, "A fast holomorphic embedding power flow approach for meshed distribution networks," International Trans. on Electrical Energy Systems, vol. 2022, Article ID: 9561385, 11 pp., 2022.
[37] M. Y. Morgan, M. F. Shaaban, H. F. Sindi, and H. H. Zeineldin, "A holomorphic embedding power flow algorithm for islanded hybrid AC/DC microgrids," IEEE Trans. on Smart Grid, vol. 13, no. 3, pp. 1813-1825, May 2022.
[38] https://www2.kios.ucy.ac.cy/testsystems/
42 نشریه مهندسی برق و مهندسی كامپیوتر ایران، الف- مهندسی برق، سال 21، شماره 1، بهار 1402
مقاله پژوهشی
تعیین حداکثر توان انتقالی با روش ترکیبی نیوتن- رافسون- سایدل
و پخش بار هولومورفیک با بهبود محاسبات ماتریسی
مصطفي عیدیانی
چكیده: این مقاله ابتدا نشان می‌دهد که ستون فقرات شبکه انتقال آینده، حتماً خطوط جریان مستقیم با ولتاژ فوق‌العاده بالا است و سپس معادلات خطوط جریان مستقیم را با معادلات پخش بار جریان متناوب نیوتن- رافسون- سایدل ترکیب می‌کند. با افزایش ابعاد معادلات پخش بار از روش‌های ماتریسی برای افزایش سرعت حل معادله پخش بار استفاده شده است. همچنین از آنجایی که پخش بار هولومورفیک برای انجام پخش بار، نیازی به حدس اولیه ندارد و در صورت وجود راه حل، حتماً پاسخ دقیق را محاسبه می‌کند، از این روش برای تعیین حدس اولیه پخش بار نیوتن- رافسون- سایدل استفاده شده است. با ترکیب این روش‌ها در این مقاله، روش جدیدی ارائه گردیده که می‌تواند در شبکه‌های کوچک و بزرگ با دقت و سرعت مناسب، حداکثر توان انتقالی ایستا را محاسبه کند. در این مقاله از 5 شبکه 39، 118، 300 باس IEEE، 145 باس ایالت آیوا و شبکه 1153 باس شرق ایران در شبیه‌سازی استفاده شده است. همچنین از 4 روش پخش بار متوالی، روش تکراری کمترین باقیمانده تعمیم‌یافته، روش نیوتن- رافسون- سایدل کلاسیک و روش پخش بار هولومورفیک استاندارد برای مقایسه استفاده گردیده است. نتایج شبیه‌سازی نشان می‌دهند که روش ارائه‌شده قابل قبول است.
کلیدواژه: توان انتقالی در دسترس، پخش بار هولومورفیک، پخش بار نیوتن، رافسون، سایدل، خط HVDC.
1- مقدمه
1-1 اهمیت شبکه HVDC
از زمانی که رئیس‌جمهور چین، شی جین پینگ2 در شش سال پیش، ایده «اینترنت جهانی انرژی3» را در سازمان ملل متحد مطرح کرد، چین تلاش می‌کند تا جهان را متقاعد نماید که ستون فقرات این شبکه یعنی خطوط جریان مستقیم با ولتاژ فوق‌العاده بالا 4(UHVDC) را بسازد. ولی تا کنون طرح گسترش این شبکه بین‌قاره‌ای شروع‌‌شده در پکن، به‌جایی نرسیده است. با این حال به نظر می‌رسد که آینده شبکه قدرت در حال چرخش به سمت ابرشبکه‌ها است [1]؛ لذا حل مسائل شبکه قدرت، بدون در نظر گرفتن شبکه HVDC در آینده غیرممکن است.
برای مرور اطلاعات پایه مدل‌سازی خطوط HVDC باید به فصل ششم [2] مراجعه کرد که جدیدترین کتاب در این زمینه است. همچنین مراجع زیادی به مدل‌سازی شبکه‌های AC/DC پرداخته‌اند. در [3] روی مدل کنترل اینورتر، کنترل فرکانس، مدل بار وابسته به ولتاژ و فرکانس تأکید شده است. همچنین در [4]، پخش بار نامتعادل با وجود خطوط HVDC و الگوریتمی برای عملیات و کنترل شبکه با وجود اتصال چندین مرکز کنترل پیشنهاد شده است. در مقاله حاضر از [5] برای مدل‌سازی خطوط HVDC استفاده گردیده است.
1-2 مفاهیم ATC
محاسبه قابلیت انتقال در دسترس 5(ATC) از دیرباز مسئله مهمی در عملکرد سیستم قدرت بوده است. با این حال اخیراً محاسبات آنلاین ATC این اطلاعات را جذاب‌تر کرده است. روش‌های محاسبه ATC را میتوان به دو دسته ATC ایستا 6(SATC) [6] و ATC پویا 7(DATC) [7] تقسیم کرد. برخلاف ATC ایستا، تحلیل پایداری گذرا، تحلیل دینامیک پایداری ولتاژ، محدودیت‌های غیرخطی و دینامیک در محاسبه ATC پویا در نظر گرفته می‌شوند [8].
همچنین سال‌هاست که پخش بار تداومی 8(CPF) برای ارزیابی SATC استفاده می‌شود و با استفاده از روش تکراری کمترین باقیمانده تعمیم‌یافته 9(GMRES)، سرعت محاسبات پایداری ولتاژ بهبود یافته است [9]. در همین راستا روش نیوتن- رافسون 10(NR) کلاسیک را میتوان با روش نیوتن- رافسون- سایدل 11(NRS) جایگزین کرد تا بتوان سریع‌تر و دقیق‌تر، پایداری ولتاژ و SATC را محاسبه کرد [10]. علاوه بر این، ترکیب الگوریتم‌های NRS، 12DH، CPF-GMRES و حذف پارامترهای مثلثاتی در پخش بار و ماتریس ژاکوبین می‌تواند سرعت و دقت محاسبه SATC را افزایش دهد [10].
در [11] روش دیگری برای تعیین DATC پیشنهاد شده که میتوان با افزایش تدریجی تولید و مصرف از حالت پایه تا نقطه انشعاب HOPF، با تخمین مقدار ویژه ماتریس حالت، DATC سیستم را به دست آورد و البته این روش برای حالت آنلاین مناسب نیست. همچنین [12]، الگوریتم تکاملی تفاضلی 13(DEA) را برای سهولت دستیابی به نقطه انشعاب HOPF معرفی کرده است. در این مرجع، DATC برای معاملات چندجانبه با استفاده از روش جدید محاسبه شده که همان مشکل مرجع قبلی را دارد.
در سال‌های اخیر و با ظهور هوش مصنوعی 14(AI)، روش حل الگوریتم پخش بار بهینه (OPF) و به دنبال آن محاسبات ATC بهبود یافته است [13]. برخی از روش‌های برجسته هوش مصنوعی برای بهبود محاسبه ATC عبارت هستند از الگوریتم ژنتیک، شبکه عصبی مصنوعی 15(ANN) [14]، بهینه‌سازی ازدحام ذرات 16(PSO) [15]، الگوریتم زنبور عسل، بهینه‌سازی گرگ خاکستری 17(GWO)، الگوریتم جستجوی فاخته 18(CSA) [16] و برنامه‌نویسی تکاملی [13]. لازم به ذکر است که همه روش‌های هوش مصنوعی (AI) به داده‌های زیاد برای آموزش نیاز ندارند. مثلاً GA، الگوریتم زنبور عسل، PSO، GWO و CSA باید به عنوان یک روش بهینه‌سازی فراابتکاری طبقه‌بندی شوند که نیازی به داده‌های آموزشی ندارد.
DATC همچنین با استفاده از دو روش محاسبه انرژی با پایداری گذرا، یعنی نقطه حداکثر انرژی پتانسیل 19(POMP) و تجزیه و تحلیل پایداری گذرای ترکیبی 20(CTSA) نیز محاسبه گردیده است [17]. این روش‌ها سریع‌تر و دقیق‌تر از روش کلاسیک سطح مرزی انرژی پتانسیل 21(PEBS) هستند. علاوه بر این با تقریب دترمینان ماتریس ژاکوبین برای پایداری ولتاژ و تعیین پایداری گذرا با روش نقطه حداکثر انرژی پتانسیل، DATC را میتوان با سرعت و دقت قابل قبولی در یک شبکه 145شینه محاسبه کرد [18].
روش رگرسیون بردار پشتیبان 22(SVR) [19] را میتوان به محاسبه DATC اضافه نمود. این روش از PEBS معمولی برای محاسبه پایداری گذرا استفاده می‌کند. با تعیین الگوهای بار مختلف، [20] یک روش تقریبی درجه دوم را برای تعیین نقطه تعادل ناپایدار کنترل‌کننده 23(CUEP) و در نتیجه تعیین حد پایداری گذرا معرفی می‌کند. این روش با در نظر گرفتن محدودیت‌های ولتاژ و تولید بر روی چندین شبکه آزمایش شده و نتایج مناسبی داشته است.
ورود منابع عظیم تجدیدپذیر به سیستم‌های قدرت، محاسبات سیستم را سخت‌تر نموده و ماهیت مشکلات را بیشتر احتمالاتی کرده است؛ بنابراین پخش بار احتمالی [21] بر پخش بار معمولی ترجیح داده می‌شود. مرجع [22] یک رویکرد احتمالی جدید را برای ارزیابی (ATC) به نام 24(PATC) با در نظر گرفتن عدم قطعیت بار، توان باد و خروج خطوط انتقال پیشنهاد کرده است. مطالعات عددی نشان می‌دهند که روش پیشنهادی می‌تواند ATC ایستا و توزیع احتمال آن را به طور دقیق محاسبه کند.
روش‌های پخش بار بهینه با محدودیت ایمنی 25(SCOPF) معمولاً در حل مسائل تعیین ATC مبتنی بر OPF و برای به حداکثر رساندن انتقال توان بین دو منطقه استفاده می‌شود [23] و در ادامه، SCOPF مبتنی بر پایداری گذرا 26(TSCOPF) برای غلبه بر معایب SCOPF کلاسیک توسعه داده شده است [24]. روش‌های داده‌محور مانند برآوردهای غیر پارامتری، امکان‌سنجی یک TSCOPF دقیق آنلاین را نشان می‌دهند. همچنین برای تعیین TTC تحت مجموعه‌ای از شرایط احتمالی، SCOPF مبتنی بر امنیت با سیگنال کوچک ارائه شده است [25]. نتایج این روش جدید، محافظه‌کارتر از OPF و SCOPF سنتی است اما محاسبه آنها بیشتر طول می‌کشد.
مرجع [26] یک روش جدید با آگاهی از ریسک با کمک جانشین 27(SA) برای تعیین قابلیت انتقال کل (TTC) ارائه کرده که امکان احتمالی برخورد با پاسخ‌های ناقص را کاهش می‌دهد و علاوه بر آن، برنامه برآورد تخمین حالت (SE) را برای یافتن پارامترهای مورد نیاز پخش بار استفاده کرده است.
روش پخش بار هولومورفیک 28(HEPF) [27] برای انجام پخش بار، نیازی به حدس اولیه ندارد و این مزیت را دارد که در صورت وجود راه حل، پاسخ دقیق را بیابد. از این روش میتوان در محاسبه ATC ایستا و پویا استفاده کرد. در [28] نشان داده شده که روش پیشنهادی با چند اصلاح کوچک و ترکیب روش‌های قدیمی، سریع‌تر و دقیق‌تر ATC پویا را محاسبه می‌کند.
پخش بار دینامیکی 29(DPF) یا پخش بار پویا 30(DELF) یک روش نوآورانه برای تبدیل مدل پخش بار به یک مدل پویای ساختگی است. DELF به جای حل تکراری معادلات پخش بار در مجموعه‌ای از شرایط مشخص، کل تجزیه و تحلیل حوزه زمانی را در یک ساختار پویا حل می‌کند [29] تا [33]. در آخرین تلاش‌ها ابتدا یک الگوریتم تعیین ATC ایستا از طریق روشی به نام تقریب مسیر روش حداقل فاصله 31(AMD) مشخص می‌شود [32]. در این روش به جای تکرار پخش بار، تنها از سه نقطه عملکرد سیستم استفاده می‌شود. با اصلاح روش سطح مرزی انرژی پتانسیل، پایداری گذرا تعیین شده و با ترکیبی از روش‌های ایستا و پویا، یک رویکرد ترکیبی برای محاسبه ATC پویا ارائه شده است. این مقاله یک روش واقعاً مؤثر و دقیق برای ارزیابی ATC پویا با استفاده از پخش بار دینامیکی و با در نظر گرفتن اولین شرایط احتمالی 
، پیشنهاد کرده است [33].
مرجع [34]، از پخش بار دینامیکی برای تعیین DATC با حضور یک خط HVDC استفاده کرده و در [35] برتری روش هولوموفیک نسبت به روش NR کلاسیک نشان داده شده است. اگر مدل بار دقیق و ترکیبی از امپدانس ثابت 
، جریان ثابت 
و توان ثابت 
باشد، به آن مدل بار zip می‌گویند. مقاله [36]، روش هولوموفیک را برای محاسبات پخش بار در حضور بارهای zip بررسی کرده است. بالاخره روش هولوموفیک برای ریزشبکه‌های هیبریدی AC/DC جزیره‌ای به عنوان روش مناسبی برای پخش بار پیشنهاد شده است [37].
در ادامه نوآوری و ساختار مقاله آمده است.
[1] این مقاله در تاریخ 16 آبان ماه 1400 دریافت و در تاریخ 23 دی ماه 1401 بازنگری شد.
مصطفي عیدیانی، موسسه امنيت انرژي و انرژي پايدار، مشهد، ایران،
(email: eidiani@ijesse.net).
[2] . Xi Jinping
[3] . Global Energy Internet
[4] . Ultra-High-Voltage Direct Current
[5] . Available Transfer Capability
[6] . Static ATC
[7] . Dynamic ATC
[8] . Continuation Power Flow
[9] . General Minimum Residual Method
[10] . Newton-Raphson
[11] . Newton-Raphson-Seidel
[12] . Down-Hill
[13] . Differential Evolution Algorithm
[14] . Artificial Intelligence
[15] . Artificial Neural Network
[16] . Particle Swarm Optimization
[17] . Grey Wolf Optimizer
[18] . Cuckoo Search Algorithm
[19] . Point of Maximum Potential Energy
[20] . Complex Transient Stability Analysis
[21] . Potential Energy Boundary Surface
[22] . Support Vector Regression
[23] . Controlling Unstable Equilibrium Point
[24] . Probabilistic Approach to Evaluate ATC
[25] . Security Constrained OPF
[26] . Transient Stability-Constrained Optimal Power Flow
[27] . Surrogate-Assisted (SA) Risk-Aware Method
[28] . Holomorphic Embedding Power Flow Method
[29] . Dynamized Power Flow
[30] . Differential Equation Load Flow
[31] . Approximation of the Path of the Minimum Distance Method
شکل 1: طرح کلی شبکه DC 2 ترمیناله [34].
1-3 نوآوری و ساختار مقاله
با بررسی روش‌های مختلف محاسبه ATC به این نتیجه می‌رسیم که این روش‌ها در آینده نه‌تنها به دقت و سرعت بیشتری نیاز دارند، بلکه باید ویژگی‌های زیر را نیز داشته باشند:
1) محاسبه DATC باید به‌صورت آنلاین انجام شود.
2) DATC باید شامل قراردادهای بین منطقه‌ای هم باشد.
3) در آینده، هیچ سیستم قدرتی بدون تولید پراکنده (DG) و نیروگاه‌های تجدیدپذیر وجود نخواهد داشت؛ بنابراین روش‌های آینده باید بتوانند با وجود این نیروگاه‌ها، ATC را محاسبه کنند.
4) با مدیریت داده‌ها باید کارایی روش‌های هوش مصنوعی افزایش یابد.
5) در آینده، همه سیستم‌های متمرکز با سیستم‌های غیر متمرکز جایگزین می‌شوند و بنابراین روش‌های ATC آینده باید با این نوع سیستم‌ها کار کنند.
6) استخوان‌بندی اصلی شبکه انتقال آینده، حتماً خطوط HVDC است و باید در محاسبات آینده ATC، مدل‌های مختلف خطوط HVDC لحاظ شده باشد.
تأکید این مقاله بر گزینه 6 توصیه‌های بالا است. به طور خلاصه ویژگی‌های بارز این مقاله را میتوان به صورت زیر خلاصه کرد:
• روش پیشنهادی، توانایی تعیین ATC ایستا را با وجود مزارع بادی در مقیاس بزرگ دارد.
• روش پیشنهادی از سرعت، دقت و استحکام بالایی برخوردار است.
• روش پیشنهادی از چهار روش بهبودیافته استفاده کرده و آنها را با هم ترکیب می‌کند.
• روش پیشنهادی برای چهار شبکه استاندارد و یک شبکه واقعی، نتایج قابل قبولی را به همراه داشته است.
• روش پیشنهادی در ترکیب روش‌های NRS، DH، HEPF و روش معکوس ماتریس با خط انتقال HVDC برای بهبود محاسبات پخش بار و تعیین ATC ایستا پیشگام بوده است.
بخش دوم، مدل ریاضی شبکه HVDC و نحوه ترکیب معادلات آن را با شبکه AC نشان می‌دهد. در بخش سوم، نحوه حل معادله پخش بار AC/DC با روش سریع و دقیق NRS آمده و در بخش چهارم، الگوریتم تعیین ATC ایستا با روش هولومورفیک آورده شده است. در بخش پنجم، نتایج شبیه‌سازی ارائه گردیده است. روش پیشنهادی بر روی سیستم‌های 39، 118، 145، 300 باس و شبکه انتقال شرق ایران با معاملات مختلف چندجانبه و دوطرفه آزمایش شده و نتیجه‌گیری و منابع در انتهای مقاله آمده است.
2- مدل ریاضی شبکه AC/DC
شکل 1، شبکه DC مورد استفاده در این مقاله را نشان می‌دهد. در
دو طرف این خط DC (فرستنده و گیرنده)، فیلترهای فرکانس پایین1
و فرکانس بالا2، خازن‌های جبران‌کننده راکتیو3، راکتورهای هموارساز4، کانورتر، فیلتر 5DC، رکتیفایر و اینورتر6 دیده می‌شوند.
برای شبکه AC میتوان معادلات را به صورت زیر خلاصه کرد
(1)
که
(2)
(3)
(4)
که 
توان تولیدی و خروجی ژنراتور، 
توان مصرفی بار، 
توان تزریقی به باس 
، 
کندوکتانس و سوسپتانس خط 
، 
زاویه ولتاژ بین باس و 
تعداد باس شبکه AC تعریف می‌شود. حال اگر یک خط HVDC بین باس و 
متصل گردد، معادله پخش بار (1) به (5) تغییر می‌کند [5]
(5)
که 
ولتاژ خط DC، 
جریان خط DC و 
زاویه ضریب قدرت است. هر دو رکتیفایر و اینورتر، توان راکتیو مصرف می‌کنند. رکتیفایر، توان اکتیو مصرف می‌کند؛ پس 
و اینورتر، توان اکتیو را تأمین می‌کند؛ پس 
.
حال میتوان معادلات شبکه DC را به صورت (6) خلاصه کرد [5]. 
معادلات ولتاژ کانورتر، 
معادلات شبکه DC و 
معادلات کنترل است. 
نسبت ترانسفورماتور کانورتر، 
زاویه کنترل کانورتر، زاویه ضریب قدرت کانورتر 
و 
راکتانس معادل ترانسفورماتور است. 
عنصر متناظر ماتریس کندوکتانس شبکه، 
ضریب جابه‌جاگر7 و 
مجموعه باس‌های DC تعریف می‌شود [5]
(6)
محدودیت‌های عمومی شبکه AC و DC را میتوان به صورت محدودیت ماکسیمم و مینیمم متغیرهای 
، 
، 
، 
، ، ، ، و اعمال کرد. اکنون میتوان معادلات یکپارچه پخش
بار شبکه AC/DC را حل نمود. چنانچه 
متغیرهای شبکه AC، 
متغیرهای شبکه DC و 
متغیر اصلی معادله پخش بار یکپارچه باشد، مشابه معادلات پخش بار AC میتوان معادلات پخش بار شبکه AC/DC را به صورت (7) مدل کرد
(7)
که در آن 
تغییرات توابع توان در شبکه AC و DC، 
ماتریس ژاکوبین کل و 
تغییرات متغیرهای شبکه AC و DC است. حال میتوان معادله (7) را با پخش بار معمولی NR حل کرد؛ ولی در این مقاله از روش NRS استفاده می‌گردد که در بخش بعدی در محاسبه ATC ایستا بیان شده است.
3- حل معادله پخش بار AC/DC
برای حل معادله پخش بار از روش NRS استفاده می‌شود [10] و [28] که مزیت اصلی این روش، عدم واگرایی در نقطه مرز پایداری ولتاژ است. این روش از مراحل حدس و تصحیح مانند روش CPF استفاده نمی‌کند. ماتریس ژاکوبین در این روش بزرگ‌تر از روش NR معمولی است ولی مشکل واگرایی در گره زین در آن حذف گردیده است. با استفاده از این روش میتوان قسمت زیر منحنی ولتاژ- توان (P-V) را نیز به دست آورد. این روش هم برای شبکه‌های توزیع و هم شبکه‌های انتقال کاربرد دارد [10] و [28].
در مقاله حاضر، این معادلات برای شبکه AC/DC به صورت زیر تغییر می‌کند
(8)
و برای حل به مشتق معادله بالا نیاز است
(9)
(10)
(11)
در این قسمت میتوان از روش DH برای افزایش سرعت همگرایی نیز استفاده کرد [10]
(12)
که 
ضریب همگرایی این روش است. این روش از 
شروع می‌کند. اگر 
، آن گاه مقدار نصف شده و مقدار جدید متغیر محاسبه می‌گردد. این کار تا 
ادامه پیدا می‌کند و حداقل مقدار نیز مشخص است 
.
همچنین قابل توجه است که زمان محاسبه معکوس ماتریس ژاکوبین با افزایش ابعاد آن به صورت نمایی افزایش می‌یابد. میتوان ثابت کرد که به جای معکوس‌کردن مستقیم ماتریس ژاکوبین اصلی شبکه AC/DC
با وارونه‌کردن زیر ماتریس آن، زمان محاسبه معکوس ماتریس ژاکوبین به میزانی قابل توجه کاهش می‌یابد؛ همچنین این روش معکوس از روش‌های دیگری مثل جداسازی LU هم سریع‌تر است. اگر ماتریس (9) و (10) معکوس داشته باشند آن گاه میتوان معکوس ماتریس ژاکوبین اصلی را به صورت زیر محاسبه کرد
(13)
که
(14)
[1] . LowFreq Filter (R,S)
[2] . HighFreq Filter (R,s)
[3] . Shunt Cap. (R,s)
[4] . Reactor (Smoothing) (R,S)
[5] . Shunt Cap. DC
[6] . Rectifier and Inverter
[7] . Commutation Coefficient
جدول 1: قراردادهای دوجانبه و چندجانبه در شبکه‌های مختلف برای محاسبه ATC ایستا.
شبکه | قرارداد | خرید | فروش | شبکه | قرارداد | خرید | فروش |
1- 39 باس IEEE | 11 | 30 | 3 | 2- 118 باس IEEE | 21 | 89 | 75 |
12 | 30 | 4 | 22 | 89 | 83 | ||
13 | 30 | 7 | 23 | 89 | 23 | ||
14 | 30-31 | 18-20 | 24 | 89-87 | 23-83 | ||
3- 145 باس ایالت آیوا | 31 | 91 | 27 | 4- 300 باس IEEE | 41 | 132 | 12 |
32 | 108 | 25 | 42 | 139 | 23 | ||
33 | 149 | 109 | 43 | 142 | 54 | ||
34 | 20-63 | 7003-7002 | 44 | 141-143 | 34-35 | ||
شبکه | قرارداد | خرید | فروش | شبکه | قرارداد | خرید | فروش |
5- شبکه 1153 باس شرق ایران | 51 | 400F | 132F | 5- | 53 | 400T | 132D |
52 | 400SH | 132B |
| 54 | 400F ،400T | 132B ،132S |
اثبات معکوس (13) در پیوست و الگوریتم تعیین ATC ایستا در بخش بعدی آمده است.
4- الگوریتم تعیین ATC ایستا با روش هولومورفیک
روش‌های تکراری مانند NR و NRS به حدس اولیه نیاز دارند. روش‌های زیادی برای بهترین حدس اولیه وجود دارد و در این مقاله از روش HEPF [27] استفاده شده است. این روش برای انجام پخش بار، نیازی به حدس اولیه ندارد و این مزیت را دارد که در صورت وجود راه حل، پاسخ دقیق را بیابد. ثابت شده که از این روش میتوان در محاسبه ATC ایستا و پویا استفاده کرد [27] و [28]. در این قسمت به طور خلاصه ایده اصلی این روش آمده است. ابتدا هر متغیری مانند (15) به صورت تابعی از متغیر دیگری به نام 
تعریف می‌شوند
(15)
سپس این متغیرها مانند (16) به فرم یک سری نامتناهی تبدیل می‌گردند
(16)
حال این متغیرهای بسط داده شده در معادله پخش بار قرار داده می‌شوند. با مقایسه ضرایب توان‌های مساوی 
در دو طرف معادله، به معادلات جدیدی به نام پخش بار هولومورفیک می‌رسیم. ویژگی اصلی تکنیک HEPF شامل یک روش غیر تکراری و استقلال راه حل HEPF در حدس اولیه با استفاده از یک ماتریس تکرار ثابت برای محاسبه ضرایب می‌باشد که این ویژگی، کاربرد این روش را برای یک محاسبه دقیق و سریع ATC مناسب کرده است. برای جزئیات بیشتر به [27] و [28] مراجعه نمایید.
در این قسمت میتوان الگوریتم روش ارائه‌شده در این مقاله را به صورت زیر خلاصه کرد:
1) ورود اطلاعات کامل شبکه
2) انتخاب یک قرارداد و تعیین فروشنده و خریدار
3) انتخاب یک رخداد از بین 
رخداد، خروج خط، ژنراتور یا ترانسفورماتور
4) اجرای پخش بار HEPF برای تعیین بهترین نقطه شروع پخش بار
5) اجرای پخش بار NRS با و بدون خط HVDC و تعیین ATC ایستا در این حالت
6) اگر تمام رخدادها در نظر گرفته شده است، مرحله بعد وگرنه مرحله 3 تکرار شود.
7) اگر تمام قراردادها بررسی شده است، مرحله بعد وگرنه مرحله 2 تکرار شود.
در ادامه، الگوریتم فوق برای مثال‌های مختلف، بررسی و با روش‌های دیگر هم مقایسه گردیده است.
5- نتایج شبیه‌سازی
در مقاله حاضر از 5 شبکه زیر برای مقایسه روش‌های مختلف استفاده شده است: 1) شبکه 39 باس IEEE [38]، 2) 118 باس IEEE [38]، 3) 300 باس IEEE [38]، 4) شبکه ایالتی آیوا (145 باس) [18] و 5) شبکه فشرده شرق ایران با 1153 باس. همچنین 5 روش مختلف برای مقایسه انتخاب شده‌اند: 1) روش پخش بار متوالی (CPF) استاندارد [6]، 2) روش CPF ترکیبی با GMRES [9]، 3) روش NRS استاندارد [10]، 4) روش پخش بار هولومورفیک (HEPF) استاندارد [27] و 5) روش پیشنهادی در این مقاله.
به منظور مقایسه بهتر برای هر شبکه، هم قرارداد دوجانبه و هم قرارداد چندجانبه در نظر گرفته شده است (جدول 1). همچنین در بزرگ‌ترین شبکه (شبکه 5)، در دو حالت با و بدون خط HVDC هم این روش با روش دقیق مقایسه گردیده است. برای مقایسه زمان محاسبات از پارامتر سرعت نسبی محاسبات 1(RSC) مانند (17) استفاده شده است. در (17) تا (19) ، شماره روش محاسباتی (5 روش)، شماره شبکه مورد مطالعه (5 شبکه) و شماره قرارداد (4 قرارداد) است
(17)
همچنین مقدار خطای هر روش با روش دقیق و کند پخش بار متوالی استاندارد مانند (18) مقایسه گردیده و برای مقایسه دقیق‌تر خطا از ریشه میانگین مربعات خطا 2(RMSE) مانند (19) برای 4 قرارداد در هر شبکه استفاده شده است
(18)
[1] . Relative Speed of Calculations
[2] . Root Mean Square Error
جدول 2: محاسبات ATC ایستا (SATC)، مقایسه زمان محاسبات (RSC)، مقایسه خطای محاسباتی (Er) و
ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE) برای قراردادهای دوجانبه و چندجانبه برای شبکه 39 باس IEEE.
SATC/RSC | روش | /1RMSEi Mean1RSCi | قرارداد 11 | قرارداد 12 | قرارداد 13 | قرارداد 14 | ||||
ATC | 11Eri | ATC | 12Eri | ATC | 13Eri | ATC | 14Eri | |||
SATC (p.u) | [6] Standard CPF (1 | 0/0 | 696/1 | 0/0 | 038/1 | 0/0 | 818/0 | 0/0 | 660/0 | 0/0 |
[9] CPF-GMRES (2 | 173/0 | 697/1 | 06/0 | 040/1 | 19/0 | 820/0 | 24/0 | 661/0 | 15/0 | |
[10] Standard NRS (3 | 184/0 | 694/1 | 12/0 | 037/1 | 10/0 | 817/0 | 12/0 | 658/0 | 31/0 | |
[27] HEPF (4 | 176/0 | 695/1 | 06/0 | 037/1 | 10/0 | 819/0 | 12/0 | 658/0 | 31/0 | |
Proposed method (5 | 0/0 | 696/1 | 0/0 | 038/1 | 0/0 | 818/0 | 0/0 | 660/0 | 0/0 | |
k1RSCi (%) | Mean11RSC | 26/70 | 89/68 | 41/71 | 32/66 | 41/74 | ||||
Mean21RSC | 39/61 | 92/62 | 18/61 | 30/59 | 15/62 | |||||
Mean31RSC | 75/52 | 75/55 | 30/51 | 19/53 | 70/50 | |||||
Mean41RSC | 58/19 | 14/22 | 37/17 | 25/20 | 51/19 | |||||
جدول 3: محاسبات ATC ایستا (SATC)، مقایسه زمان محاسبات (RSC)، مقایسه خطای محاسباتی (Er) و
ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE) برای قراردادهای دوجانبه و چندجانبه برای شبکه 118 باس IEEE.
SATC/RSC | روش | /2RMSEi Mean2RSCi | قرارداد 21 | قرارداد 22 | قرارداد 23 | قرارداد 24 | ||||
ATC | 21Eri | ATC | 22Eri | ATC | 23Eri | ATC | 24Eri | |||
SATC (p.u) | [6] Standard CPF (1 | 0/0 | 288/4 | 0/0 | 122/4 | 0/0 | 046/4 | 0/0 | 510/3 | 0/0 |
[9] CPF-GMRES (2 | 486/0 | 309/4 | 487/0 | 117/4 | 121/0 | 065/4 | 467/0 | 486/3 | 688/0 | |
[10] Standard NRS (3 | 206/0 | 287/4 | 023/0 | 109/4 | 316/0 | 053/4 | 173/0 | 503/3 | 200/0 | |
[27] HEPF (4 | 046/0 | 287/4 | 023/0 | 124/4 | 048/0 | 044/4 | 049/0 | 508/3 | 057/0 | |
Proposed method (5 | 012/0 | 288/4 | 0/0 | 121/4 | 024/0 | 046/4 | 0/0 | 510/3 | 0/0 | |
k2RSCi (%) | Mean12RSC | 25/97 | 85/96 | 43/94 | 77/97 | 65/98 | ||||
Mean22RSC | 81/90 | 01/97 | 78/83 | 44/89 | 38/93 | |||||
Mean32RSC | 36/78 | 94/85 | 74/75 | 83/75 | 51/75 | |||||
Mean42RSC | 56/22 | 08/21 | 90/23 | 51/25 | 60/21 | |||||
جدول 4: محاسبات ATC ایستا (SATC)، مقایسه زمان محاسبات (RSC)، مقایسه خطای محاسباتی (Er) و
ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE) برای قراردادهای دوجانبه و چندجانبه برای شبکه 300 باس IEEE.
SATC/RSC | روش | /3RMSEi Mean3RSCi | قرارداد 31 | قرارداد 32 | قرارداد 33 | قرارداد 34 | ||||
ATC | 31Eri | ATC | 32Eri | ATC | 33Eri | ATC | 34Eri | |||
SATC (p.u) | [6] Standard CPF (1 | 0/0 | 116/1 | 0/0 | 902/0 | 0/0 | 561/0 | 0/0 | 427/0 | 0/0 |
[9] CPF-GMRES (2 | 039/2 | 104/1 | 087/1 | 919/0 | 850/1 | 551/0 | 815/1 | 440/0 | 955/2 | |
[10] Standard NRS (3 | 503/0 | 122/1 | 535/0 | 899/0 | 334/0 | 559/0 | 358/0 | 430/0 | 698/0 | |
[27] HEPF (4 | 238/0 | 114/1 | 180/0 | 900/0 | 222/0 | 560/0 | 179/0 | 426/0 | 335/0 | |
Proposed method (5 | 071/0 | 117/1 | 090/0 | 903/0 | 111/0 | 561/0 | 0/0 | 427/0 | 0/0 | |
k3RSCi (%) | Mean13RSC | 56/89 | 55/92 | 40/87 | 86/88 | 53/89 | ||||
Mean23RSC | 80/86 | 77/95 | 54/76 | 33/85 | 78/89 | |||||
Mean33RSC | 06/71 | 57/73 | 25/75 | 40/71 | 06/64 | |||||
Mean43RSC | 22/28 | 38/31 | 52/26 | 79/22 | 87/31 | |||||
(19)
خلاصه محاسبات و مقایسه این روش‌ها در جدول‌های 2 تا 6 آمده است. در این جدول‌ها محاسبات ATC ایستا (SATC)، مقایسه زمان محاسبات (RSC)، مقایسه خطای محاسباتی (Er) و ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE) برای قراردادهای دوجانبه و چندجانبه برای شبکه‌های 39، 118، 300 باس IEEE، 145 باس ایالت آیوا و شبکه 1153 باس
شرق ایران نشان داده شده است. این جدول‌ها نشان می‌دهند که روش پیشنهادی بین 20 تا 90 درصد در زمان محاسبات صرفه‌جویی کرده و خطای محاسبات آن بین 0 تا 1/0 درصد می‌باشد که از بقیه روش‌های مدل‌شده در این مقاله کمتر است و هرچه ابعاد شبکه بزرگ‌تر شود، دقت و سرعت روش پیشنهادی، نتیجه بهتری نسبت به دیگر روش‌ها از خود نشان می‌دهد.
همچنین در مقایسه جدول 6 با جدول 7 دیده می‌شود که اولاً با اضافه‌شدن خط انتقال HVDC بین 40 تا 60 درصد انتقال توان افزایش یافته، ثانیاً دقت محاسبات روش بسیار بیشتر شده و از آنجا که امکان مدل‌سازی خط HVDC در دیگر روش‌ها وجود ندارد، سرعت این روش در حالت وجود HVDC مقایسه نشده است. ولی توانایی این روش در
جدول 5: محاسبات ATC ایستا (SATC)، مقایسه زمان محاسبات (RSC)، مقایسه خطای محاسباتی (Er) و
ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE) برای قراردادهای دوجانبه و چندجانبه برای شبکه 145 باس ایالت آیوا.
SATC/RSC | روش | /4RMSEi Mean4RSCi | قرارداد 41 | قرارداد 41 | قرارداد 43 | قرارداد 44 | ||||
ATC | 41Eri | ATC | 42Eri | ATC | 43Eri | ATC | 44Eri | |||
SATC (p.u) | [6] Standard CPF (1 | 0/0 | 209/4 | 0/0 | 658/5 | 0/0 | 179/6 | 0/0 | 210/6 | 0/0 |
[9] CPF-GMRES (2 | 282/0 | 216/4 | 166/0 | 643/5 | 266/0 | 159/6 | 325/0 | 189/6 | 339/0 | |
[10] Standard NRS (3 | 177/0 | 208/4 | 024/0 | 644/5 | 248/0 | 168/6 | 178/0 | 221/6 | 177/0 | |
[27] HEPF (4 | 037/0 | 207/4 | 048/0 | 655/5 | 053/0 | 179/6 | 0/0 | 211/6 | 016/0 | |
Proposed method (5 | 019/0 | 210/4 | 034/0 | 659/5 | 018/0 | 179/6 | 0/0 | 210/6 | 0/0 | |
k4RSCi (%) | Mean14RSC | 79/94 | 87/95 | 27/93 | 01/95 | 81/94 | ||||
Mean24RSC | 07/90 | 58/97 | 89/84 | 56/88 | 72/88 | |||||
Mean34RSC | 07/74 | 05/81 | 02/79 | 09/73 | 22/63 | |||||
Mean44RSC | 07/25 | 02/27 | 24/25 | 62/21 | 44/26 | |||||
جدول 6: محاسبات ATC ایستا (SATC)، مقایسه زمان محاسبات (RSC)، مقایسه خطای محاسباتی (Er) و
ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE) برای قراردادهای دوجانبه و چندجانبه برای شبکه 1153 باس شبکه شرق ایران.
SATC/RSC | روش | /5RMSEi Mean5RSCi | قرارداد 51 | قرارداد 51 | قرارداد 53 | قرارداد 54 | ||||
ATC | 51Eri | ATC | 52Eri | ATC | 53Eri | ATC | 54Eri | |||
SATC (p.u) | [6] Standard CPF (1 | 0/0 | 164/1 | 0/0 | 188/1 | 0/0 | 711/0 | 0/0 | 761/0 | 0/0 |
[9] CPF-GMRES (2 | 593/3 | 143/1 | 837/1 | 222/1 | 782/2 | 684/0 | 947/3 | 801/0 | 994/4 | |
[10] Standard NRS (3 | 710/2 | 181/1 | 439/1 | 166/1 | 887/1 | 689/0 | 195/3 | 734/0 | 678/3 | |
[27] HEPF (4 | 227/0 | 162/1 | 172/0 | 190/1 | 168/0 | 713/0 | 281/0 | 759/0 | 264/0 | |
Proposed method (5 | 136/0 | 162/1 | 172/0 | 187/1 | 084/0 | 710/0 | 141/0 | 760/0 | 132/0 | |
k5RSCi (%) | Mean15RSC | 22/79 | 26/81 | 49/79 | 50/79 | 64/76 | ||||
Mean25RSC | 27/78 | 19/78 | 66/83 | 52/80 | 73/70 | |||||
Mean35RSC | 63/61 | 82/66 | 22/50 | 65/69 | 81/59 | |||||
Mean45RSC | 44/35 | 51/28 | 76/27 | 03/37 | 48/48 | |||||
جدول 7: محاسبات ATC ایستا (SATC) برای شبکه 1153 باس شبکه شرق ایران با حضور خط HVDC.
SATC/RSC | روش | /5RMSEi Mean5RSCi | قرارداد 51 | قرارداد 51 | قرارداد 53 | قرارداد 54 | ||||
ATC | 51Eri | ATC | 52Eri | ATC | 53Eri | ATC | 54Eri | |||
SATC (p.u) | [6] Standard CPF (1 | 0/0 | 904/1 | 0/0 | 838/1 | 0/0 | 928/0 | 0/0 | 221/1 | 0/0 |
Proposed method (5 | 079/0 | 903/1 | 053/0 | 837/1 | 054/0 | 928/0 | 0/0 | 220/1 | 082/0 | |
حالت بدون خط انتقال HVDC در جدول‌های 2 تا 6 نشان داده شده است که توانایی روش پیشنهادی را اثبات می‌کند.
6- نتیجه‌گیری
اضافه‌شدن خطوط HVDC به تمام شبکه‌های انتقال در آینده نزدیک، امری اجتناب‌ناپذیر است و لذا روش‌های محاسبات انتقال توان باید بتوانند با وجود پیچیده‌ترشدن محاسبات، این شبکه‌های انتقال را تجزیه و تحلیل کنند. در مقاله حاضر با اضافه‌شدن معادلات شبکه DC به شبکه AC
و ترکیب آن با معادلات پخش بار NRS، ابعاد ماتریس ژاکوبین شبکه افزایش یافته است؛ لذا با استفاده از روش جدید معکوس ماتریس ژاکوبین توسعه‌یافته، سرعت محاسبه پخش بار شبکه افزایش داده شد. سپس برای شروع بهتر از پخش بار هولوموفیک استفاده گردید که با تعیین نقطه مناسب حدس اولیه، سرعت همگرایی پخش بار NRS افزایش یافت.
در این مقاله نشان داده شد که سرعت و دقت روش جدید نسبت به روش‌های دیگر بسیار مناسب است. این روش می‌تواند هم در شبکه‌های کوچک و هم در شبکه‌های بزرگ، محاسبات انتقال توان را انجام دهد. چالش بعدی استفاده از این روش برای تعیین ATC پویا است که باید با ترکیب روش‌های تعیین پایداری گذرا با روش تعیین ATC ایستای این مقاله، توان انتقال واقعی شبکه را محاسبه کرد.
پیوست
اگر ماتریس 
و 
معکوس‌پذیر باشد، آن گاه ثابت
می‌شود که معکوس ماتریس 
به صورت زیر قابل محاسبه است [34]
(پ- 1)
دقت شود که به جای معکوس‌کردن ماتریس به ابعاد فقط کافی است که دو ماتریس و 
معکوس شوند. فرض کنید که ابعاد ماتریس ، 2000 و ابعاد دو ماتریس و ، 1000 باشد. ثابت می‌شود اگر زمان متوسط معکوس ماتریس 5 ثانیه باشد، زمان معکوس ماتریس 5/0 ثانیه است. لذا استفاده از (پ- 1)، 5 برابر سریع‌تر از معکوس مستقیم است و هرچه ابعاد شبکه بیشتر شود، این نسبت به صورت نمایی افزایش می‌یابد. همچنین ثابت گردیده که این روش معکوس از روش‌های دیگر مثل جداسازی LU هم سریع‌تر است. اگر معکوس ماتریس ، 
باشد آن گاه داریم
(پ- 2)
در نتیجه
(پ- 3)
که 
ماتریس واحد و 
ماتریس صفر تعریف می‌شوند؛ لذا داریم
(پ- 4- الف)
(پ- 4- ب)
(پ- 4- ج)
(پ- 4- د)
از (پ- 4- ب) داریم
(پ- 5)
این معادله را در (پ- 4- د) قرار می‌دهیم و داریم
(پ- 6)
حالا معادله بالا را در (پ- 5) قرار می‌دهیم و داریم
(پ- 7)
حال از (پ- 4- الف) داریم
(پ- 8)
با قراردادن (پ- 8) در (پ- 4- ج) داریم
(پ- 9)
در نهایت با قراردادن معادله بالا در (پ- 8) داریم
(پ- 10)
بالاخره معکوس ماتریس محاسبه می‌شود.
مراجع
[1] M. Champion, "The Future of Power Is Transcontinental, Submarine Supergrids," Bloomberg Businessweek, https://www.bloomberg.com/news/features/2021-06-09/future-of-world-energy-lies-in-uhvdc-transmission-lines, Jun. 2021.
[2] S. Lumbreras, H. Abdi, and A. Ramos, Transmission Expansion Planning: The Network Challenges of the Energy Transition, Springer Nature Switzerland AG, 2021.
[3] G. D. A. Tinajero, M. Nasir, J. C. Vasquez, and J. M. Guerrero, "Comprehensive power flow modelling of hierarchically controlled AC/DC hybrid islanded microgrids," International J. of Electrical Power and Energy Systems, vol. 127, Article ID: 106629, 9 pp., May 2021.
[4] H. Zhang and S. Wang, "A distributed dynamic power flow algorithm for an interconnected system containing two-terminal LCC-HVDC tie-line," IEEE Access, vol. 9, pp. 28673-28683, 2021.
[5] W. Sicheng and G. Shan, "Available transfer capability analysis method of AC-DC power system based on security region," J. of Engineering IET, vol. 2019, no. 16, pp. 2386-2390, Mar. 2019.
[6] م. عیدیانی، "یافته‌های گذشته و مسیرهای آینده روش‌های تعیین قابلیت انتقال توان در دسترس، بخش اول، مفاهیم و روش‌های ایستا،" فصل‌نامه عصر برق، انجمن برق و الکترونیک ایران، شاخه خراسان، شماره 15، صص. 49-41، تابستان 1400.
[7] م. عیدیانی، "یافته‌های گذشته و مسیرهای آینده روش‌های تعیین قابلیت انتقال توان در دسترس، بخش دوم، روش‌های پویا،" فصل‌نامه عصر برقانجمن برق و الکترونیک ایران، شاخه خراسان، شماره 16، صص. 42-35، زمستان 1400.
[8] O. O. Mohammed, M. W. Mustafa, D. S. S. Mohammed, and A. O. Otuoze, "Available transfer capability calculation methods: a comprehensive review," Int. Trans. on Electrical Energy Syst.,
vol. 29, no. 6, Article ID: e 2846, 24 pp., Jun. 2019.
[9] م. عیدیانی، "تعیین پایداری ولتاژ و ATC ایستا با روش نیوتن- رافسون- سایدل توسعه‌یافته و مقایسه آن با روش حداقل پس‌ماند،" مجله فنی و مهندسی دانشگاه آزاد اسلامی مشهد، جلد 3، شماره 1، صص. 10-1، زمستان 1388.
[10] M. Eidiani, "A reliable and efficient method for assessing voltage stability in transmission and distribution networks," International J. of Electrical Power and Energy System, vol. 33, no. 3, pp. 453-456, Mar. 2011.
[11] I. S. V. Agnes, R. Narmathabanu, D. Devaraj, and M. Karuppasamypandiyan, "Estimation of dynamic ATC including Hopf bifurcation limit using step by step algorithm," Int. J. of Power and Energy Conversion, vol. 8, no. 2, pp. 365-369, Jan. 2017.
[12] I. S. V. Agnes, D. Devaraj, R. B. Namatha, and M. K. Pandiyan, "Differential evolution algorithm for computation of dynamic ATC in deregulated power system," in Proc. Int. Conf. on Intelligent Techniques in Control, Optimization and Signal Processing, 10 pp., Srivilliputtur, India, 23-25 Mar. 2017.
[13] S. Sayah and A. Hamouda, "Optimal power flow solution of integrated AC‐DC power system using enhanced differential evolution algorithm," Int. Trans. on Electrical Energy Syst., vol. 29, no. 2, Article ID: e2737, 11 pp., Feb. 2018.
[14] S. Devesh and S. P. Singh, "Real-time estimation of ATC using PMU data and ANN," IET Gener. Transm. Distrib., vol. 14, no. 17, pp. 3604-3616, Sept. 2020.
[15] D. Gupta and S. K. Jain, "Available transfer capability enhancement by FACTS devices using metaheuristic evolutionary particle swarm optimization (MEEPSO) technique," Energies, vol. 14, no. 4, Article ID: 869, 28 pp., 2021.
[16] T. L. Duong, T. T. Nguyen, N. A. Nguyen, and T. Kang, "Available transfer capability determination for the electricity market using cuckoo search algorithm," Engineering, Technology & Applied Science Research, vol. 10, no. 1, pp. 5340-5345, Feb. 2020.
[17] M. Eidiani, "Transient stability constrained available transmission capability (ATC)," J. of Electrical Engineering, Faculty of Electrical and Power Engineering, vol. 10, no. 3, pp. 48-54, 2010.
[18] M. Eidiani and M. H. M. Shanechi, "FAD‐ATC: a new method for computing dynamic ATC," International. J. of Electrical Power and Energy Sysems, vol. 28, no. 2, pp. 109‐118, Feb. 2006.
[19] A. Velusamy, N. B. Ramu, D. Durairaj, and K. Murugesan, "Differential evolutionary algorithm based optimal support vector machine for online DATC estimation incorporating transmission capacity margins," Int. Trans. on Electrical Energy Syst., vol. 27,
no. 7, Article ID: e2331, 12 pp., Jul. 2017.
[20] M. Shaaban, "Behavior of power system equilibrium points in dynamic available transfer capability calculation," J. of Applied Science & Process Engineering, vol. 5, no. 1, pp. 242-248, 2018.
[21] W. Xiaoting, W. Xiaozhe, S. Hao, and L. Xi, "A data-driven sparse polynomial chaos expansion method to assess probabilistic total transfer capability for power systems with renewable," IEEE Trans. on Power Syst., vol. 36, no. 3, pp. 2573-2583, May 2020.
[22] S. Xin, T. Zhongbei, R. Yufei, L. Zhaohui, and T. Pietro, "Probabilistic available transfer capability assessment in power systems with wind power integration," IET Renew. Power Gener., vol. 14, no. 11, pp. 1912-1920, Aug. 2020.
[23] D. Hur, J. K. Park, B. H. Kim, and K. M. Son, "Security constrained optimal power flow for the evaluation of transmission capability on Korea electric power system," inProc. Power Engineering Society Summer Meeting, pp. 1133‐1138, Vancouver, Canada, 15-19 Jul. 2001.
[24] Y. Liu, et al., "Online TTC estimation using nonparametric analytics considering wind power integration," IEEE Trans. Power Syst.,
vol. 34, no. 1, pp. 494-505, Jan. 2019.
[25] M. Kim, D. Hur, Y. Nam, and J. Park, "Total transfer capability computation using small signal stability‐based security constrained optimal power flow," European Trans. on Electrical Power, vol. 21, no. 1, pp. 877‐894, Jan. 2011.
[26] Q. Gao, et al., "Surrogate-assisted optimal redispatch control for risk-aware regulation of dynamic total transfer capability," IET Gener. Transm. Distrib., vol. 15, no. 13, pp. 1949-1961, Jul. 2021.
[27] S. Kesherwani, A. Mohapatra, and S. C. Srivastav, "An efficient holomorphic embedded based approach for available transfer capability evaluation," Int. Electrical Power and Energy Syst., vol. 122, Article ID: 106164, 10 pp., Nov. 2020.
[28] M. Eidiani, "A reliable and efficient holomorphic approach to evaluate dynamic available transfer capability," International Trans. on Electrical Energy Systems, vol. 31, no. 11, Article ID: e13031, 14 pp., Nov. 2021.
[29] Y. Liu and K. Sun, "Solving power system differential algebraic equations using differential transformation," IEEE Trans. Power Syst., vol. 35, no. 3, pp. 2289-2299, May 2021.
[30] Y. Liu and K. Sun, Differential Transformation of Nonlinear Power Flow Equations, arXiv preprint arXiv:2004.08017, 5 pp., 2020.
[31] Y. Liu, K. Sun, and J. Dong, "A dynamized power flow method based on differential transformation," IEEE Access, vol. 8, pp. 182441-182450, 2020.
[32] M. Eidiani, "A new method of static available transfer capability computation in a high-penetration wind farm," Majlesi J. of Mechatronic Systems, vol. 10, no. 2, pp. 29-38, Jun. 2021.
[33] M. Eidiani, "An efficient differential equation load flow method to assess dynamic available transfer capability with wind farms," IET Renewable Power Generation, vol. 15, no. 16, pp. 1-13, 7 Dec. 2021.
[34] M. Eidiani, "A new hybrid method to assess available transfer capability in AC-DC networks using the wind power plant interconnection," IEEE Systems J., vol. 17, no. 1, pp. 1375 - 1382, Mar. 2022.
[35] O. Olobaniyi, O. Oparinde, and N. Ogundipe, "A comparative study of iterative and non-iterative load-flow methods: a case of newton raphson and holomorphic embedding approaches," Nigerian J. of Engineering, vol. 29, no. 1, pp. 64-71, Apr. 2022.
[36] M. Shamseldein, "A fast holomorphic embedding power flow approach for meshed distribution networks," International Trans. on Electrical Energy Systems, vol. 2022, Article ID: 9561385, 11 pp., 2022.
[37] M. Y. Morgan, M. F. Shaaban, H. F. Sindi, and H. H. Zeineldin, "A holomorphic embedding power flow algorithm for islanded hybrid AC/DC microgrids," IEEE Trans. on Smart Grid, vol. 13, no. 3,
pp. 1813-1825, May 2022.
[38] https://www2.kios.ucy.ac.cy/testsystems/
مصطفی عیدیانی تحصيلات خود را در مقاطع كارشناسي و كارشناسي ارشد مهندسی قدرت به‌ترتیب در سال‌هاي 1373 و 1375 از دانشگاه فردوسی مشهد و مقطع دكتري مهندسی قدرت را در سال 1383 از دانشگاه آزاد واحد علوم و تحقیقات تهران به پايان رسانده است. وی در سال 1395 به درجه دانشیاری و عضو ارشد IEEE ارتقا پیدا کردند. وی 7 کتاب فارسی، 1 کتاب انگلیسی با تیلور و فرانسیس، 9 فصل کتاب در اشپرینگر و الزویر، 110 مقالات کنفرانس و 41 مقاله در مجلات علمی انتشار داده است. همچنین نام‌برده سردبیر مجله بین‌المللی امنیت انرژی و انرژی پایدار (IJESSE) و دستیار سردبیر سه نشریه نمايه‌شده در اسکوپوس مجله مهندسی برق و فناوری (JEET)، مجله مهندسی (JOE-IET) و مجله بین‌المللی مهندسی برق کاربردی (IJAPE) می‌باشد. وی در حال حاضر عضو هیأت مدیره شرکت تولید برق خراسان است. زمينههاي تحقيقاتي موردعلاقه ايشان عبارت‌اند از: امنیت انرژی، امنیت سایبری در سیستم قدرت، انرژی‌های تجدیدپذیر، کنترل و پایداری سیستم‌های قدرت، و نرم‌افزارهای سیستم قدرت.