Manuscript ID : 13990626249550 Visit : 5158 Page: 287 - 293

Article Type: Original Research

Non-Fragile Adaptive Sliding-Mode Observer Design for a Class of Fractional-Order Pseudo-Linear Systems with State Delay

Subject Areas : electrical and computer engineering

مجيد پرويزيان ¹ , خسرو خانداني ² , وحيد جوهري مجد ^{3
*}

1 -
2 - Arak University
3 -

Received: 2020-09-19 Accepted : 2021-12-07 Published : 2022-02-08

Keywords: Von-fragile adaptive observer, fractional-order pseudo-linear systems, sliding mode, LMIs,

Abstract :

In recent years, fractional order systems and fractional order control have increasingly attracted the attention of researchers in various fields of science and engineering. On the other hand, numerous control approaches have been extended in order to be utilized in fractional order systems. Despite this fact, few research studies have been devoted to generalizing integer order observers to fractional order ones. Since the applications of fractional order systems are increasing, developing fractional order observers seems to be essential. In this paper the problem of non-fragile adaptive sliding mode observer design for a class of fractional-order nonlinear systems with time delay is addressed. First, the states of the fractional-order pseudo-linear time-delay system with matched nonlinearity are estimated employing the sliding mode control method. Then the state estimation problem of fractional order systems with mismatched nonlinearity has been investigated. The asymptotic stability of the estimation error dynamics is proven by employing the Lyapunov stability analysis method for fractional order systems. The sufficient stability conditions are derived in the form of Linear Matrix Inequalities (LMIs). Eventually, the effective performance of the proposed approach in this paper has been corroborated through simulation of a numerical example and also a case study of a fractional order economic system.

References:

[1] M. Hu, Y. Li, S. Li, C. Fu, D. Qin, and Z. Li, "Lithium-ion battery modeling and parameter identification based on fractional theory," Energy, vol. 165, pt. B, pp. 153-163, Dec. 2018.
[2] X. Wang, T. Thu Giang Hoang, Z. Pan, and Y. Q. Chen, "Fractional-order modelling and control for two parallel PWM rectifiers," IFAC-PapersOnLine, vol. 51, no. 4, pp. 54-59, Feb. 2018.
[3] T. Wei and Y. S. Li, "Identifying a diffusion coefficient in a time-fractional diffusion equation," Mathematics and Computers in Simulation, vol. 151, pp. 77-95, Sept. 2018.
[4] M. Bonforte, Y. Sire, and J. L. Vazquez, "Optimal existence and uniqueness theory for the fractional heat equation," Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 153, pp. 142-168, Apr. 2017.
[5] J. D. Gabano, T. Poinot, and H. Kanoun, "Identification of a thermal system using continuous linear parameter-varying fractional modelling," IET Control Theory & Applications, vol. 5, no. 7, pp. 889-899, May 2011.
[6] F. C. Meral, T. J. Royston, and R. Magin, "Fractional calculus in viscoelasticity: an experimental study," Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 15, no. 4, pp. 939-945, Apr. 2010.
[7] C. Zopf, S. E. Hoque, and M. Kaliske, "Comparison of approaches to model viscoelasticity based on fractional time derivatives," Computational Materials Science, vol. 98, pp. 287-296, Feb. 2015.
[8] Y. Long, B. Xu, D. Chen, and W. Ye, "Dynamic characteristics for a hydro-turbine governing system with viscoelastic materials described by fractional calculus," Applied Mathematical Modelling, vol. 58, pp. 128-139, Jun. 2018.
[9] C. Ionescu, A. Lopes, D. Copot, J. A. T. Machado, and J. H. T. Bates, "The role of fractional calculus in modeling biological phenomena: a review," Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 51, pp. 141-159, Oct. 2017.
[10] Y. Li, Y. Q. Chen, and I. Podlubny, "Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic systems," Automatica, vol. 45, no. 8, pp. 1965-1969, Aug. 2009.
[11] I. Kheirizad, A. A. Jalali, and K. Khandani, "Stabilisation of unstable FOPDT processes with a single zero by fractional-order controllers," International J. of Systems Science, vol. 44, no. 8, pp. 1533-1545, Aug. 2013.
[12] Y. Farid, V. J. Majd, and A. Ehsani-Seresht, "Fractional-order active fault-tolerant force-position controller design for the legged robots using saturated actuator with unknown bias and gain degradation," Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 104, pp. 465-486, May 2018.
[13] S. P. Nangrani and S. S. Bhat, "Fractional order controller for controlling power system dynamic behavior," Asian J. of Control, vol. 20, no. 1, pp. 403-414, Jan. 2018.
[14] M. Netto and L. Nili, "A robust data-driven koopman kalman filter for power systems dynamic state estimation," IEEE Trans. on Power Systems, vol. 33, no. 6, pp. 7228-7237, Jun. 2018.
[15] J. Zhao, "Dynamic state estimation with model uncertainties using H∞ extended kalman filter," IEEE Trans. on Power Systems, vol. 33, no. 1, pp. 1099-1100, Mar. 2018.
[16] H. Bao and J. H. Oh, "Novel state estimation framework for humanoid robot," Robotics and Autonomous Systems, vol. 98, pp. 258-275, Dec. 2017.
[17] N. Ramdani, L. Trave-Massuyes, and C. Jauberthie, "Mode discernibility and bounded-error state estimation for nonlinear hybrid systems," Automatica, vol. 91, pp. 118-125, May 2018.
[18] M. Bettayeb and S. Djennoune, "A note on the controllabity and the observability of fractional dynamical systems," in IFAC Proc. Volumes, vol. 139, no. 11, pp. 493-498, Jan, 2006.
[19] S. Dadras and H. R. Momeni, "Fractional sliding mode observer design for a class of uncertain fractional order nonlinear systems," in Proc. of the 50th IEEE Conf. on Decision and Control and European Control Conf., CDC-ECC’11, pp. 6925-6930, Orlando, FL, USA, 12-15 Dec. 2011.
[20] Z. Belkhatir and T. M. Laleg-Kirati, "High-order sliding mode observer for fractional commensurate linear systems with unknown input," Automatica, vol. 82, pp. 209-217, Aug. 2017.
[21] N. Djeghali, S. Djennoune, M. Bettayeb, M. Ghanes, and J. P. Barbot, "Observation and sliding mode observer for nonlinear fractional-order system with unknown input," ISA Trans., vol. 63, pp. 1-10, Jul. 2016.
[22] Y. H. Lan and Y. Zhou, "Non-fragile observer-based robust control for a class of fractional-order nonlinear systems," Systems & Control Letters, vol. 62, pp. 1143-1150, Dec. 2013.
[23] E. A. Boroujeni and H. R. Momeni, "Non-fragile nonlinear fractional order observer design for a class of nonlinear fractional order systems," Signal Processing, vol. 92, no. 10, pp. 2365-2370, Oct. 2012.
[24] Y. H. Lan, W. J. Li, Y. Zhou, and Y. P. Luo, "Non-fragile observer design for fractional-order one-sided Lipschitz nonlinear systems," International J. of Automation and Computing, vol. 10, no. 4, pp. 296-302, Aug. 2013.
[25] E. A. Boroujeni and H. R. Momeni, "An iterative method to design optimal non-fragile H∞ observer for Lipschitz nonlinear fractional-order systems," Nonlinear Dynamics, vol. 80, no. 4, pp. 1801-1810, Jun. 2015.
[26] L. Liu, Z. Han, and W. Li, "H∞ non-fragile observer-based sliding mode control for uncertain time-delay systems," J. of the Franklin Institute, vol. 347, no. 2, pp. 567-576, Mar. 2010.
[27] Y. Liu, Y. Niu, and Y. Zou, "Non-fragile observer-based sliding mode control for a class of uncertain switched systems," J. of the Franklin Institute, vol. 351, no. 2, pp. 952-963, Feb. 2014.
[28] L. Gao, D. Wang, and Y. Wu, "Non-fragile observer-based sliding mode control for Markovian jump systems with mixed mode-dependent time delays and input nonlinearity," Applied Mathematics and Computation, vol. 229, pp. 374-395, Feb. 2014.
[29] Y. Kao, W. Li, and C. Wang, "Nonfragile observer‐based H∞ sliding mode control for Itô stochastic systems with Markovian switching," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 24, no. 15, pp. 2035-2047, Oct. 2014.
[30] F. Zhong, H. Li, and S. Zhong, "State estimation based on fractional order sliding mode observer method for a class of uncertain fractional-order nonlinear systems," Signal Processing, vol. 127, pp. 168-184, Oct. 2016.
[31] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, New York, Academic Press, 1999.
[32] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Philadelphia: SIAM, 1994.
[33] S. Liu, W. Jiang, X. Li, and X. F. Zhou, "Lyapunov stability analysis of fractional nonlinear systems," Applied Mathematics Letters, vol. 51, pp. 13-19, Jan. 2016.

Full-Text:

معرفي يک روش جديد خوشه‌يابي خودکار

مقاله پژوهشی

طراحی رؤیتگر مد لغزشی تطبیقی غیر شكننده برای دسته‌ای
از سامانه‌های مرتبه كسری شبه‌خطی دارای تأخیر حالت

مجید پرویزیان، خسرو خاندانی و وحید جوهری مجد

چكیده: سامانه‌های مرتبه كسری و سیستم‌های كنترل مرتبه كسری در سال‌های اخیر به صورت فزاینده‌ای مورد توجه پژوهشگران در حوزه‌های مختلف علوم و مهندسی بوده است. از دیگر سو، بسیاری از رویكردهای كنترلی مرتبه صحیح برای استفاده در مورد سامانه‌های مرتبه كسری توسعه داده شده‌اند. با وجود این، پژوهش‌های انگشت‌شماری در زمینه گسترش رؤیتگرهای كلاسیك به حالت كسری انجام شده است. با توجه به گسترش روزافزون كاربردهای سامانه‌های مرتبه كسری، توسعه رؤیتگرهای مرتبه كسری نیز ضروری به نظر می‌رسد. در این مقاله، مسئله طراحی یك رؤیتگر مد لغزشی تطبیقی غیر شکننده برای دسته‌ای از سامانه‌های مرتبه کسری شبه‌خطی دارای تأخیر زمانی بررسی شده است. ابتدا حالت‌های سیستم مرتبه کسری تأخیردار با قسمت غیر خطی سازگار با استفاده از روش کنترل مد لغزشی تخمین زده شده و سپس مسئله تخمین حالت برای سیستم مرتبه کسری با قسمت غیر خطی غیر سازگار بررسی‌ شده است. پایداری مجانبی دینامیک خطای تخمین با استفاده از روش تحلیل پایداری لیاپانوف برای سامانه‌های مرتبه کسری اثبات گردیده و شرایط كافی پایداری در قالب نابرابری‌های ماتریسی خطی استخراج شده است. در نهایت عملكرد مؤثر روش ارائه‌شده در این مقاله با شبیه‌سازی بر روی یك مثال عددی و نیز مطالعه موردی بر روی یك سامانه اقتصادی مرتبه كسری نشان داده شده است.

کلیدواژه: رؤیتگر تطبیقی غیر شكننده، سامانه مرتبه كسری شبه‌خطی، مد لغزشی، نابرابری‌های ماتریسی خطی.

1- مقدمه

در دو دهه اخیر سامانه‌های مرتبه كسری به عنوان یك ابزار مؤثر جهت مدل‌سازی سامانه‌های فیزیكی دنیای واقعی در زمینه‌های مختلف علوم از جمله مهندسی برق [1] و [2]، انتقال حرارت [3] تا [5]، ویسكوالاستیسیته [6] تا [8]، سامانه‌های زیستی [9] و ... مورد توجه قرار گرفته‌اند. پایدارسازی و كنترل این سامانه‌ها و نیز طراحی كنترل‌كننده‌های مرتبه كسری برای سامانه‌های مرتبه كسری و مرتبه صحیح به صورت گسترده‌ای از جنبه‌های مختلف مورد بررسی قرار گرفته‌اند [10] تا [13]. اندازه‌گیری حالت‌های یک سامانه مرتبه كسری گاهی اوقات غیر ممکن است و بنابراین تخمین حالت و طراحی رؤیتگر قبل از طراحی کنترل‌کننده ضروری می‌باشد. روش‌های تخمین حالت به دلیل کاربرد گسترده در زمینه‌های مختلف مهندسی، نظیر کنترل و پایش سامانه‌های قدرت [14] و [15]، سامانه‌های کنترل رباتیک [16] و سامانه‌های هیبریدی [17] توجه پژوهشگران بسیاری را به خود جلب کرده است. تخمین حالت سامانه‌های مرتبه کسری نیز طی دهه گذشته مورد بررسی قرار گرفته است. شرایط رؤیت‌پذیری سامانه‌های مرتبه کسری ابتدا در [18] ارائه گردید و پس از آن روش‌های مختلف طراحی رؤیتگر برای این دسته از سامانه‌ها توسعه داده شده است. رؤیتگر مد لغزشی با توجه به ویژگی‌های آن مانند پاسخ سریع و عدم حساسیت به تغییرات در پارامترهای سامانه و اغتشاشات بیرونی، بسیار مورد توجه پژوهشگران در جامعه كنترل بوده است [19] تا [21]. در طراحی رؤیتگر، مسئله شکنندگی ناشی از تغییر پارامترهای رؤیتگر یک موضوع مهم است که باید در نظر گرفته شود. از آنجایی ‌که شکنندگی رؤیتگر ممکن است منجر به ناپایداری سیستم خطا شود، تلاش‌هایی برای طراحی رؤیتگر غیر شکننده برای سامانه‌های مرتبه کسری غیر خطی صورت گرفته است. در [22] یك كنترل‌كننده مقاوم مبتنی بر رؤیتگر غیر شكننده ارائه شده و با استفاده از تجزیه مقدار منفرد ماتریس و نابرابری‌های ماتریسی خطی، شرایط پایداری مجانبی مقاوم استخراج گردیده است. در [23] و [24] یك رؤیتگر غیر شكننده برای دسته‌ای از سامانه‌های مرتبه كسری غیر خطی لیپشیتز طراحی شده كه در آن از روش لیاپانوف غیر مستقیم استفاده شده است. در [25] روشی برای طراحی رؤیتگر غیر شکننده بهینه برای سامانه‌های مرتبه کسری غیر خطی لیپشیتز ارائه‌ شده است. بهره بهینه رؤیتگر مطلوب از میان یک مجموعه جواب که به طور سیستماتیک شرایط پایداری رؤیتگر غیر شکننده مرتبه کسری مقاوم غیر خطی را ارضا می‌کنند به کمک نابرابری‌های ماتریسی خطی استخراج‌ شده است.

از طرف دیگر دو موضوع بااهمیت كه در طراحی سامانه‌های كنترل و رؤیتگر باید در نظر گرفته شوند، تأخیر زمانی و غیر خطینگی در ورودی هستند. تأخیر در بسیاری از سامانه‌های فیزیکی و صنعتی به ‌عنوان یک نتیجه مستقیم از قابلیت‌های محدود پردازش اطلاعات و انتقال داده‌ها در میان بخش‌های مختلف سامانه رخ می‌دهد. تأخیر همچنین می‌تواند ناشی از پدیده‌های فیزیکی ذاتی مانند جریان انتقال جرم یا چرخه باشد. از سوی دیگر، غیر خطینگی در ورودی اغلب سامانه‌های واقعی وجود دارد و ممکن است منجر به تخریب جدی عملکرد سیستم شود. مقالات مختلفی به موضوع تأخیر و غیر خطینگی در ورودی پرداخته‌اند. از جمله در [26] طراحی یك رؤیتگر غیر شکننده مبتنی بر کنترل مد لغزشی برای سامانه‌های تأخیری دارای عدم قطعیت با ورودی غیر خطی مورد بحث قرار گرفته است. با استفاده از کنترل مد لغزشی یک قانون مقاوم ایجاد شده است به ‌طوری ‌که رسیدن به سطح لغزش در فضای تخمین حالت تضمین شود. همچنین شرایط کافی برای پایداری مجانبی سامانه خطای تخمین و دینامیک مد لغزشی با اغتشاش میراشونده، از طریق شگردهای نابرابری‌های ماتریسی خطی استخراج‌ شده است. در [27] یك رؤیتگر غیر شکننده مبتنی بر کنترل مد لغزشی برای سامانه‌های سوئیچینگ دارای عدم قطعیت ارائه شده است. ابتدا رؤیتگر مد لغزشی غیر شکننده ایجاد گردیده تا حالت‌های غیر قابل اندازه‌گیری را تخمین بزند و سپس یک تخمینگر حالت غیر شکننده مد لغزشی طراحی شده که در آن برای ایجاد سطح لغزش از جمع وزنی ماتریس‌های ورودی استفاده می‌شود. در [28] تخمینگر حالت و کنترل مد لغزشی برای کلاسی از سامانه‌های پرش مارکوف با تأخیر زمانی و غیر خطینگی در ورودی بررسی گردیده كه در آن یک رؤیتگر غیر شکننده مبتنی بر کنترل مد لغزشی ایجاد شده است، به ‌طوری‌ که رسیدن به سطح لغزش در فضای تخمین حالت تضمین شود. در [29] طراحی کنترل مد لغزشی برای یک کلاس از سامانه‌های تصادفی نوع خنثی با پارامترهای سوئیچینگ مارکوف و عدم قطعیت‌های غیر خطی مورد بررسی قرار گرفته است. در [19] یک رؤیتگر مد لغزشی مرتبه کسری برای دسته خاصی از سامانه‌های غیر خطی مرتبه کسری دارای عدم قطعیت ارائه ‌شده است. از طریق توسعه مرتبه کسری معیار پایداری لیاپانوف، تحلیل پایداری سامانه خطا بررسی‌ گردیده و نشان داده ‌شده که همگرایی خطای تخمین با رؤیتگر طراحی‌شده، تضمین گردیده است. در [30] مسئله تخمین حالت دسته خاصی از سامانه‌های پویای غیر خطی مرتبه کسری به کمک روش کنترل مد لغزشی بررسی ‌شده است. پایداری مجانبی سامانه خطای پویای تخمین از طریق روش پایداری لیاپانوف برای سامانه‌های مرتبه کسری، بررسی‌ شده و شرایط کافی برای پایداری مجانبی استخراج گردیده است. با وجود این، تخمین حالت‌های سامانه‌های مرتبه كسری دارای غیر خطینگی در ورودی با استفاده از رؤیتگر مد لغزشی تا كنون انجام نگرفته است.

از طرف دیگر، بسیاری از رویكردهای كنترلی مرتبه صحیح برای استفاده در مورد سامانه‌های مرتبه كسری توسعه داده شده‌اند اما با وجود این، پژوهش‌های انگشت‌شماری در زمینه گسترش رؤیتگرهای كلاسیك به حالت كسری انجام گردیده است. با توجه به گسترش روزافزون كاربردهای سامانه‌های مرتبه كسری، توسعه رؤیتگرهای مرتبه كسری نیز ضروری به نظر می‌رسد. در این مقاله، یك رؤیتگر مد لغزشی تطبیقی غیر شکننده برای دسته‌ای از سامانه‌های مرتبه کسری شبه‌خطی دارای تأخیر زمانی طراحی می‌شود. این رؤیتگر قادر است حالت‌های سیستم مرتبه کسری را تخمین بزند به طوری كه پایداری مجانبی دینامیک خطای تخمین، تضمین‌شده باشد. فرض می‌شود كه غیر خطینگی سازگار و اغتشاش نرم محدود هستند ولی كران بالای آنها نامشخص است كه از رویكرد تطبیقی برای تخمین این كران‌ها استفاده می‌شود.

در ادامه مقاله در بخش دوم، مقدمات پژوهش مطرح شده و مسئله تبیین می‌گردد. در بخش سوم، نتایج اصلی مقاله به همراه اثبات قضایا ارائه می‌گردد. در بخش چهارم، نتایج شبیه‌سازی و در بخش پنجم، نتایج مقاله ارائه می‌شود.

2- طرح مسئله و مباحث مقدماتی

دسته سامانه‌های مورد مطالعه در این مقاله ساختاری به صورت (1) دارند

(1)

که در این رابطه مرتبه کسری سامانه و ، و به ترتیب بردارهای متغیرهای حالت، خروجی اندازه‌گیری شده و ورودی با بعدهای مناسب هستند. تابع اولیه برداری پیوسته است. همچنین ، و ماتریس‌های حقیقی ثابت با بعدهای مناسب هستند و رتبه کامل ستونی است. تابع غیر خطی ناسازگار می‌باشد که نسبت به یک تابع لیپشیتز است

(2)

که در آن یک ثابت مثبت است. همچنین تابع غیر خطی نرم محدود نامعلوم سازگار می‌باشد، به طوری که شرط زیر را ارضا کند

(3)

که در آن و ثابت‌های مثبت نامعلوم هستند و همچنین فرض می‌شود كه رؤیت‌پذیر باشد. در (1)، مشتق كسری كاپوتو است كه به صورت زیر تعریف می‌شود:

تعریف 1 [31]: مشتق كسری كاپوتوی یك تابع به صورت زیر تعریف می‌شود

(4)

كه در این رابطه مرتبه كسری مشتق‌گیری، اولین عدد صحیح بزرگ‌تر از و تابع گاما است. لم‌های زیر نیز در استخراج نتایج مورد استفاده قرار خواهند گرفت:

لم 1 (مكمل شور): برای ماتریس متقارن ، عبارات

زیر هم‌ارزند

(5)

لم 2 [32]: فرض كنید ، و ماتریس‌های حقیقی با بعد مناسب باشند به طوری که شرط را ارضا ‌کند و را یك اسكالر فرض كنید. در این صورت نابرابری زیر همیشه برقرار است

(6)

لم 3 [33]: فرض كنید یک بردار از توابع مشتق‌پذیر باشد. سپس به ازای رابطه زیر برقرار است

(7)

به طوری که یک ماتریس مثبت معین، متقارن، مربعی و ثابت است.

3- طراحی رؤیتگر مرتبه كسری غیر شكننده

در این بخش، یک رؤیتگر غیر شكننده مبتنی بر کنترل مد لغزشی تطبیقی برای سیستم مرتبه كسری غیر خطی نامعین دارای تأخیر زمانی (1) ارائه می‌شود. دینامیک رؤیتگر مرتبه كسری پیشنهادی به صورت زیر است

(8)

که در آن تخمین بردار حالت است و بهره رؤیتگر می‌باشد. اغتشاش جمعی روی بهره‌ رؤیتگر است که شرط زیر را ارضا می‌کند

(9)

که در آن یك ثابت مثبت است. همچنین تابع به صورت زیر تعریف می‌شود

(10)

که در این رابطه اخیر، یک ثابت مثبت دلخواه می‌باشد و فرض می‌گردد که ماتریس شرط را ارضا کند و بعداً طراحی شود. و پارامترهای ثابت نامعلوم و در (3) را تخمین می‌زنند. خطای تخمین پارامترهای و را به صورت و تعریف می‌کنیم. ما همچنین فرض می‌کنیم که

(11)

در این رابطه و ثابت‌های مثبت هستند كه توسط طراح انتخاب می‌شوند. با تعریف خطای تخمین دینامیك خطا از (1) و (8) به صورت زیر حاصل می‌گردد

(12)

قضیه زیر شرط پایداری مجانبی سامانه خطای (12) را ارائه می‌كند.

قضیه 1: سیستم خطای (12) پایداری مجانبی است اگر ماتریس‌های ، ، و و اسکالرهای و وجود داشته باشند به طوری که نابرابری ماتریسی خطی زیر برقرار شود

(13)

(14)

كه در این رابطه

(15)

همچنین بهره رؤیتگر از رابطه به دست می‌آید.

اثبات: تابع لیاپانوف را به صورت زیر در نظر می‌گیریم

(16)

با گرفتن مشتق مرتبه کسری از این رابطه و با استفاده از لم 3 داریم

(17)

با استفاده از لم 2 می‌توان نوشت

(18)

(19)

با توجه به (10) و (11) می‌توان نوشت

(20)

حال با جاگذاری (18) تا (20) در (17) می‌توان نوشت

(21)

این رابطه را می‌توان در قالب زیر نوشت

(22)

كه در آن است و همچنین

(23)

كه در آن

(24)

به ازای ، شرط کافی برای پایداری مجانبی خواهد بود. با استفاده از مكمل شور در لم 1، نابرابری ماتریسی معادل (13) خواهد بود و بنابراین اثبات کامل می‌شود.

نتیجه 1: روش مشابهی می‌تواند برای طراحی یك رؤیتگر برای سامانه مرتبه كسری غیر خطی دارای تأخیر زمانی با عدم قطعیت ناسازگار که توسط معادله زیر توصیف می‌شود، به کار گرفته شود

(25)

به طوری که یک تابع غیر خطی نرم محدود نامعلوم غیر سازگار می‌باشد که نشان‌دهنده عدم قطعیت‌ها و اغتشاشات مدل‌سازی است که در (3) صدق می‌کند. دینامیک رؤیتگر به صورت رابطه زیر پیشنهاد می‌شود

(26)

كه در آن

(27)

فرض می‌شود که ماتریس شرط را ارضا کند و همچنین فرض می‌کنیم که

(28)

به طوری که و ثابت‌های مثبت هستند. در این صورت اگر شرط (13) برقرار باشد دینامیك خطای مربوط به رؤیتگر در (25) پایدار مجانبی خواهد بود.

اثبات: با تابع لیاپانوف (16) اثبات سرراست است. با توجه به (25) و (26)، معادله دینامیك خطای رؤیتگر به صورت زیر به دست می‌آید

(29)

با گرفتن مشتق مرتبه کسری از (16) و استفاده از لم 3، اثبات مشابه اثبات قضیه 1 انجام خواهد شد.

نكته 1: شرط برابری خطی را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد

(30)

همچنین شرط زیر را معرفی می‌نماییم

(31)

که در آن پارامتری است که طراحی می‌شود. علاوه بر این با استفاده از لم 1 داریم

(32)

بنابراین مسئله طراحی رؤیتگر (8) مربوط به قضیه 1 به مسئله بهینه‌سازی به شرط (13) و (32) تبدیل می‌شود.

نكته 2: شرط برابری خطی را نیز می‌توان به صورت زیر با جایگذاری به جای بازنویسی کرد

(33)

بنابراین مسئله طراحی رؤیتگر (26) به مسئله بهینه‌سازی به شرط (13) و (34) تبدیل می‌شود.

نكته 3: در نتیجه 1، فرض می‌کنیم سیستم (25) دارای تأخیر متغیر با زمان باشد ( با جایگزین شود)

(34)

همچنین شرط زیر را ارضا می‌کند

(35)

در این صورت لازم است که (13) با معادله زیر جایگزین شود

(36)

در بخش بعدی با ارائه دو نمونه شبیه‌سازی، عملكرد روش نظری پیشنهادشده را بررسی می‌نماییم.

4- نتایج شبیه‌سازی

در این بخش دو مثال شبیه‌سازی شامل یك مثال عددی و سپس یك مطالعه موردی بر روی یك سامانه اقتصادی كسری را ارائه می‌دهیم.

مثال 1) سامانه مرتبه كسری شبه‌خطی (1) را به همراه رؤیتگر ارائه‌شده در (8) با پارامترهای زیر در نظر بگیرید

(37)

همچنین حالت‌های اولیه و هستند. با حل نابرابری ماتریسی خطی قضیه 1 با استفاده از جعبه‌ابزار YALMIP و با توجه به نكته 1، نتایج زیر حاصل می‌شود

(38)

شكل 1 حالت‌های تخمین زده شده را به همراه حالت‌های سامانه نمایش می‌دهد كه نشان می‌دهد رؤیتگر ارائه‌شده قادر است به سرعت، حالت‌های سامانه را تخمین بزند.

مثال 2) یك سامانه اقتصادی مرتبه كسری متناسب را در نظر می‌گیریم و روش ارائه‌شده برای تخمین حالت را بر روی آن اعمال می‌نماییم. این سامانه شامل سه متغیر حالت ، و است كه به ترتیب نرخ بهره، تقاضای سرمایه‌گذاری و شاخص قیمت هستند [23].

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex1\picture\1.jpg$

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex1\picture\2.jpg$

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex1\picture\3.jpg$

شکل 1: مسیرهای حالت‌ها و حالت‌هاي تخمين زده شده مربوط در مثال 1.

پارامترهای سامانه توصیف‌شده با (25) به صورت زیر است

(39)

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex2\picture\1.jpg$

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex2\picture\2.jpg$

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex2\picture\3.jpg$

شکل 2: مسیرهای حالت‌ها و حالت‌هاي تخمين زده شده مربوط در مثال 2.

و همچنین

(40)

شرایط اولیه را مشابه مثال 1 در نظر می‌گیریم. آن گاه مبتنی بر نتیجه 1 و با حل نابرابری ماتریسی خطی ارائه‌شده در قضیه 1 و با توجه به نكته 2 به دست می‌آوریم

(41)

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex2\picture\4.jpg$

شکل 3: مسیرهای خطاي تخمين در مثال 2.

$E:\articles\integralnew\Asian Journal of Control\persian1\ریوایز\ex2\picture\5.jpg$

شکل 4: مقادير تخمين زده شده و در مثال 2.

نتایج شبیه‌سازی در شكل‌ها آمده است. شكل 2 نحوه تخمین حالت‌های سامانه را نشان می‌دهد. همچنین شكل 3 خطای تخمین را نمایش می‌دهد كه به سرعت به صفر همگرا شده است. شكل 4 نیز بهره‌های تطبیقی تخمین زده شده و را نشان می‌دهد. همان طور كه از نتایج شبیه‌سازی مشخص است، خطای تخمین به سرعت به صفر همگرا می‌شود كه نشان‌دهنده پایداری دینامیك خطای تخمین است.

5- نتیجه‌گیری

با توجه به اهمیت رؤیتگرها در مهندسی کنترل و کاربردهای مختلف آنها از جمله تشخیص خطا و هم‌زمان‌سازی سامانه‌ها و عدم وجود پژوهش‌های کافی در زمینه رؤیتگرهای غیر خطی مرتبه کسری، در این مقاله به طراحی رؤیتگر برای سامانه‌های شبه‌خطی مرتبه کسری پرداخته شد و یک رؤیتگر مرتبه کسری مد لغزشی غیر شکننده تطبیقی ارائه گردید و ثابت شد که با استفاده از این رؤیتگر، خطای تخمین به صفر همگرا می‌شود. شرایط کافی برای پایداری مجانبی رؤیتگر، به کمک قضیه پایداری لیاپانوف و از طریق نابرابری‌های ماتریسی خطی استخراج گردید. با توجه به نتایج شبیه‌سازی نتایج نظری ارائه‌شده تأیید می‌شوند.

مراجع

[1] M. Hu, Y. Li, S. Li, C. Fu, D. Qin, and Z. Li, "Lithium-ion battery modeling and parameter identification based on fractional theory," Energy, vol. 165, pt. B, pp. 153-163, Dec. 2018.

[2] X. Wang, T. Thu Giang Hoang, Z. Pan, and Y. Q. Chen, "Fractional-order modelling and control for two parallel PWM rectifiers," IFAC-PapersOnLine, vol. 51, no. 4, pp. 54-59, Feb. 2018.

[3] T. Wei and Y. S. Li, "Identifying a diffusion coefficient in a time-fractional diffusion equation," Mathematics and Computers in Simulation, vol. 151, pp. 77-95, Sept. 2018.

[4] M. Bonforte, Y. Sire, and J. L. Vazquez, "Optimal existence and uniqueness theory for the fractional heat equation," Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 153, pp. 142-168, Apr. 2017.

[5] J. D. Gabano, T. Poinot, and H. Kanoun, "Identification of a
thermal system using continuous linear parameter-varying fractional modelling," IET Control Theory & Applications, vol. 5, no. 7, pp. 889-899, May 2011.

[6] F. C. Meral, T. J. Royston, and R. Magin, "Fractional calculus in viscoelasticity: an experimental study," Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 15, no. 4, pp. 939-945, Apr. 2010.

[7] C. Zopf, S. E. Hoque, and M. Kaliske, "Comparison of approaches
to model viscoelasticity based on fractional time derivatives," Computational Materials Science, vol. 98, pp. 287-296, Feb. 2015.

[8] Y. Long, B. Xu, D. Chen, and W. Ye, "Dynamic characteristics for a hydro-turbine governing system with viscoelastic materials described by fractional calculus," Applied Mathematical Modelling, vol. 58, pp. 128-139, Jun. 2018.

[9] C. Ionescu, A. Lopes, D. Copot, J. A. T. Machado, and J. H. T. Bates, "The role of fractional calculus in modeling biological phenomena: a review," Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 51, pp. 141-159, Oct. 2017.

[10] Y. Li, Y. Q. Chen, and I. Podlubny, "Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic systems," Automatica, vol. 45, no. 8, pp. 1965-1969, Aug. 2009.

[11] I. Kheirizad, A. A. Jalali, and K. Khandani, "Stabilisation of unstable FOPDT processes with a single zero by fractional-order controllers," International J. of Systems Science, vol. 44, no. 8, pp. 1533-1545, Aug. 2013.

[12] Y. Farid, V. J. Majd, and A. Ehsani-Seresht, "Fractional-order active fault-tolerant force-position controller design for the legged robots using saturated actuator with unknown bias and gain degradation," Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 104, pp. 465-486, May 2018.

[13] S. P. Nangrani and S. S. Bhat, "Fractional order controller for controlling power system dynamic behavior," Asian J. of Control, vol. 20, no. 1, pp. 403-414, Jan. 2018.

[14] M. Netto and L. Nili, "A robust data-driven koopman kalman filter for power systems dynamic state estimation," IEEE Trans. on Power Systems, vol. 33, no. 6, pp. 7228-7237, Jun. 2018.

[15] J. Zhao, "Dynamic state estimation with model uncertainties using H∞ extended kalman filter," IEEE Trans. on Power Systems, vol. 33, no. 1, pp. 1099-1100, Mar. 2018.

[16] H. Bao and J. H. Oh, "Novel state estimation framework for humanoid robot," Robotics and Autonomous Systems, vol. 98, pp. 258-275, Dec. 2017.

[17] N. Ramdani, L. Trave-Massuyes, and C. Jauberthie, "Mode discernibility and bounded-error state estimation for nonlinear hybrid systems," Automatica, vol. 91, pp. 118-125, May 2018.

[18] M. Bettayeb and S. Djennoune, "A note on the controllabity and the observability of fractional dynamical systems," in IFAC Proc. Volumes, vol. 139, no. 11, pp. 493-498, Jan, 2006.

[19] S. Dadras and H. R. Momeni, "Fractional sliding mode observer design for a class of uncertain fractional order nonlinear systems," in Proc. of the 50th IEEE Conf. on Decision and Control and European Control Conf., CDC-ECC’11, pp. 6925-6930, Orlando, FL, USA, 12-15 Dec. 2011.

[20] Z. Belkhatir and T. M. Laleg-Kirati, "High-order sliding mode observer for fractional commensurate linear systems with unknown input," Automatica, vol. 82, pp. 209-217, Aug. 2017.

[21] N. Djeghali, S. Djennoune, M. Bettayeb, M. Ghanes, and J. P. Barbot, "Observation and sliding mode observer for nonlinear fractional-order system with unknown input," ISA Trans., vol. 63, pp. 1-10, Jul. 2016.

[22] Y. H. Lan and Y. Zhou, "Non-fragile observer-based robust control for a class of fractional-order nonlinear systems," Systems & Control Letters, vol. 62, pp. 1143-1150, Dec. 2013.

[23] E. A. Boroujeni and H. R. Momeni, "Non-fragile nonlinear fractional order observer design for a class of nonlinear fractional order systems," Signal Processing, vol. 92, no. 10, pp. 2365-2370, Oct. 2012.

[24] Y. H. Lan, W. J. Li, Y. Zhou, and Y. P. Luo, "Non-fragile observer design for fractional-order one-sided Lipschitz nonlinear systems," International J. of Automation and Computing, vol. 10, no. 4, pp. 296-302, Aug. 2013.

[25] E. A. Boroujeni and H. R. Momeni, "An iterative method to design optimal non-fragile H∞ observer for Lipschitz nonlinear fractional-order systems," Nonlinear Dynamics, vol. 80, no. 4, pp. 1801-1810, Jun. 2015.

[26] L. Liu, Z. Han, and W. Li, "H∞ non-fragile observer-based sliding mode control for uncertain time-delay systems," J. of the Franklin Institute, vol. 347, no. 2, pp. 567-576, Mar. 2010.

[27] Y. Liu, Y. Niu, and Y. Zou, "Non-fragile observer-based sliding mode control for a class of uncertain switched systems," J. of the Franklin Institute, vol. 351, no. 2, pp. 952-963, Feb. 2014.

[28] L. Gao, D. Wang, and Y. Wu, "Non-fragile observer-based sliding mode control for Markovian jump systems with mixed mode-dependent time delays and input nonlinearity," Applied Mathematics and Computation, vol. 229, pp. 374-395, Feb. 2014.

[29] Y. Kao, W. Li, and C. Wang, "Nonfragile observer‐based H∞ sliding mode control for Itô stochastic systems with Markovian switching," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 24, no. 15,
pp. 2035-2047, Oct. 2014.

[30] F. Zhong, H. Li, and S. Zhong, "State estimation based on fractional order sliding mode observer method for a class of uncertain fractional-order nonlinear systems," Signal Processing, vol. 127, pp. 168-184, Oct. 2016.

[31] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, New York, Academic Press, 1999.

[32] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Philadelphia: SIAM, 1994.

[33] S. Liu, W. Jiang, X. Li, and X. F. Zhou, "Lyapunov stability analysis of fractional nonlinear systems," Applied Mathematics Letters,
vol. 51, pp. 13-19, Jan. 2016.

مجيد پرويزيان در سال 1397 در رشته مهندسي برق- كنترل و در مقطع كارشناسي ارشد از دانشگاه تربيت مدرس فارغ‌التحصيل گرديد. علاقه‌مندي‌هاي پژوهشي ايشان كنترل مقاوم، سيستم‌هاي مرتبه كسري، كنترل تصادفي و سيستم‌هاي هوشمند است.

خسرو خانداني مدرك دكتراي خود را در سال 1395 در رشته مهندسي برق- كنترل از دانشگاه تربيت مدرس دريافت نمود. وي هم‌اكنون به عنوان عضو هيأت علمي دانشگاه اراك فعاليت مي‌كند. زمينه‌هاي پژوهشي مورد علاقه ايشان سيستم‌هاي چندعاملي، كنترل مرتبه كسري و اتوماسيون صنعتي مي‌باشند.

وحيد جوهري مجد در سال 1374 دكتراي تخصصي خود را از دانشگاه پيتسبرگ آمريكا دريافت نمود. وي هم‌اكنون به عنوان دانشيار دانشگاه تربيت مدرس مشغول فعاليت هستند. زمينه‌هاي پژوهشي مورد علاقه ايشان شناسایی و کنترل هوشمند، یادگیری عمیق، ربات‌های بلعیدنی، ربات‌هاي نرم، سامانه‌های چندکارگزاره یادگیر، کنترل مشارکتی، کنترل آرایش و کنترل عصبی فازی مي‌باشند.

[1] این مقاله در تاریخ 29 شهریور ماه 1399 دریافت و در تاریخ 16 آذر ماه 1400 بازنگری شد.

مجید پرویزیان، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران، (email: parvizianmajid@gmail.com).

خسرو خاندانی، گروه مهندسی برق، دانشگاه اراک، اراک، ایران،
(email: k-khandani@araku.ac.ir).

وحید جوهری مجد (نویسنده مسئول)، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران، (email: majd@modares.ac.ir).

Automatic Change Detection by Intelligent Backgrounding Method
Print Date : 2003-03-21
Speed Estimation and Sensorless Torque Optimization of Single Phase Induction Motor
Print Date : 2003-06-21
Optimal Design of Three-Phase Squirrel-Cage Induction Motor for Electric Vehicle
Print Date : 2003-06-21
A New Method in Design and Implementation of Electronic Synchronizer Based on Phase Locked Loop for Fast Paralleling of Diesel–Generators
Print Date : 2003-06-21
A New Circuit for Protecting of Series Connected Power Thyristors
Print Date : 2003-06-21
Cooperation in Multi-Agent Systems Using Learning Automata
Print Date : 2003-06-21

Share To

Article Url

Non-Fragile Adaptive Sliding-Mode Observer Design for a Class of Fractional-Order Pseudo-Linear Systems with State Delay